Determine a integral integral0^1 t^2(25-9 t^2)^3 / 2 d t tem valor 1D[34-arcsen(35)]. Determine
D:
Resposta: square

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral integral0^1 t^2(25-9 t^2)^3 / 2 dt que está igual a 1D[34-arcsen(35)]. Nosso objetivo é descobrir o valor de D.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a integral que temos. Ela envolve uma função racional com uma raiz no denominador. A integral é do tipo:
integral t^2(25 - 9t^2)^3/2 dt
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição trigonométrica, já que temos uma expressão do tipo a^2 - u^2 dentro de uma raiz.

Passo 3

Vamos fazer a substituição u = 3t. Assim, t = u3 e dt = du3. Substituindo na integral, temos:
integral (u3)^2(25 - u^2)^3/2 cdot du3 = 127 integral u^2(25 - u^2)^3/2 du

Passo 4

Agora, para simplificar, vamos usar uma substituição trigonométrica. Seja u = 5 sin theta, então du = 5 cos theta dtheta. Substituindo na integral:
127 integral (5 sin theta)^2(25 - 25 sin^2 theta)^3/2 cdot 5 cos theta dtheta = 12527 integral sin^2 theta cos theta(25 cos^2 theta)^3/2 dtheta

Passo 5

Simplificando a expressão:
(25 cos^2 theta)^3/2 = 25^3/2 cos^3 theta = 125 cos^3 theta
Então, a integral fica:
12527 integral sin^2 theta cos theta125 cos^3 theta dtheta = 127 integral sin^2 theta cdot 1cos^2 theta dtheta = 127 integral tan^2 theta dtheta

Passo 6

Sabemos que tan^2 theta = sec^2 theta - 1. Então, a integral fica:
127 integral (sec^2 theta - 1) dtheta = 127 ( tan theta - theta ) + C

Passo 7

Agora, vamos voltar às variáveis originais. Lembrando que u = 5 sin theta e t = u3 = 53 sin theta. Também, tan theta = uraiz25 - u^2 = 3traiz25 - 9t^2.
Então, substituindo:

Passo 8

Agora, vamos avaliar a integral definida de 0 a 1:
Simplificando:

Passo 9

Comparando com a expressão dada no enunciado:
Observamos que:
1D ( 34 - arcsen(35) ) = 127 ( 34 - arcsen(35) )

Resposta

D = 27

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