Determine a integral
tem valor
. Determine
Resposta:
Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral
que está igual a
. Nosso objetivo é descobrir o valor de
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a integral que temos. Ela envolve uma função racional com uma raiz no denominador. A integral é do tipo:
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição trigonométrica, já que temos uma expressão do tipo
dentro de uma raiz.
Passo 3
Vamos fazer a substituição
. Assim,
e
. Substituindo na integral, temos:
Passo 4
Agora, para simplificar, vamos usar uma substituição trigonométrica. Seja
, então
. Substituindo na integral:
Passo 5
Simplificando a expressão:
Então, a integral fica:
Passo 6
Sabemos que
. Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, vamos voltar às variáveis originais. Lembrando que
e
. Também,
.
Então, substituindo:
Passo 8
Agora, vamos avaliar a integral definida de 0 a 1:
Simplificando:
Passo 9
Comparando com a expressão dada no enunciado:
Observamos que: