Encontre os valores das constantes A, B e C tais que a derivada direcional de f dada por f(x, y, z)=A x y^2+B y z+C z^2 x^3 no ponto P(1,2,1) tenha um valor máximo de 54 na direção do vetor u=(0,0,1).

Passo 1

O enunciado pede para determinar constantes A,B,C tal que a derivada direcional de
f(x,y,z)=A x y^2 + B y z + C z^2 x^3
no ponto P(1,2,1) na direção de vec u=(0,0,1) seja máxima e igual a 54. Vamos usar conceito de gradiente e derivada direcional.

Passo 2

Sabemos que a derivada direcional de f em uma direção unitária u é dada por Du f(P)=nabla f(P)cdot u e que o valor máximo dessa derivada ocorre na direção do gradiente e vale |nabla f(P)|. Como queremos esse máximo na direção de vec u e igual a 54, devemos ter nabla f(P) paralelo a vec u e |nabla f(P)|=54.

Passo 3

Calcular o gradiente de f:
nabla f(x,y,z)=l(A y^2 + 3C z^2 x^2,;2A x y + B z,;B y + 2C z x^3r)

Passo 4

Avaliar o gradiente em P(1,2,1):
nabla f(1,2,1)=(4A + 3C,;4A + B,;2B + 2C)

Passo 5

Para que nabla f(1,2,1) seja paralelo a vec u=(0,0,1), as componentes x e y devem ser zero, o que gera
4A + 3C = 0,
4A + B = 0,
e a componente z deve fornecer o valor 54:
2B + 2C = 54

Passo 6

Resolver o sistema de três equações: da primeira obtemos A=-3C/4, da segunda B=-4A=3C. Substituindo na terceira:
2(3C)+2C=54implies8C=54implies C=274
Então
A=-34cdot274=-8116, B=3cdot274=814

Resposta

A = -\frac{81}{16}, B = \frac{81}{4}, C = \frac{27}{4}

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