Encontre os valores das constantes
e
tais que a derivada direcional de
dada por
no ponto
tenha um valor máximo de 54 na direção do vetor
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar constantes
tal que a derivada direcional de
no ponto na direção de
seja máxima e igual a 54. Vamos usar conceito de gradiente e derivada direcional.
no ponto
Passo 2
Sabemos que a derivada direcional de
em uma direção unitária
é dada por
e que o valor máximo dessa derivada ocorre na direção do gradiente e vale
. Como queremos esse máximo na direção de
e igual a 54, devemos ter
paralelo a
e
.
Passo 3
Calcular o gradiente de
:
Passo 4
Avaliar o gradiente em
:
Passo 5
Para que
seja paralelo a
, as componentes x e y devem ser zero, o que gera
e a componente z deve fornecer o valor 54:
Passo 6
Resolver o sistema de três equações: da primeira obtemos
, da segunda
. Substituindo na terceira:
Então
Resposta
A = -\frac{81}{16}, B = \frac{81}{4}, C = \frac{27}{4}