Usando derivação implícita, determine
.
b)
b)
Passo 1
O enunciado dá a equação implícita
e pede para determinar
usando derivação implícita.
Informações dadas que vamos usar:
Informações dadas que vamos usar:
- a variável
é função de (isto é, ); - a expressão
aparece dentro de uma função ; - do lado direito há uma soma
.
Passo 2
Relembrando as regras de diferenciação que vamos aplicar (explicadas com calma):
- Regra da cadeia: se
é composta com , então . Por exemplo, . - Derivada de
: . Assim, por cadeia,
- Regra do produto:
. No caso de , trate como produto : derivada é , onde escrevemos .
Passo 3
Vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
, lembrando que
depende de
.
Derivada do lado esquerdo: apliquei regra da cadeia com
:
Derivada do lado direito: derivei termo a termo; para
a derivada é
; para
usei produto:
Portanto
Passo 4
Igualando as duas derivadas obtemos a equação para
:
Para resolver para
multiplica-se ambos os lados pelo denominador
:
Agora vamos isolar os termos que contêm
. Expandindo apenas a parte necessária, passamos todos os termos com
para o lado esquerdo:
Fatorando
no lado esquerdo:
Passo 5
Finalmente, isolando
(ou seja,
):
Esta é a expressão final para
. Pode-se deixar nessa forma fatorada ou expandir numerador e denominador, se preferir.