Usando derivação implícita, determine d y / d x.
b) \arctan \left(x^{2} y\right)=x+x y^{2}

Passo 1

O enunciado dá a equação implícita
\arctan\!\bigl(x^{2}y\bigr)=x+x y^{2}
e pede para determinar \dfrac{dy}{dx} usando derivação implícita.
Informações dadas que vamos usar:
  • a variável y é função de x (isto é, y=y(x));
  • a expressão x^{2}y aparece dentro de uma função \arctan(\cdot);
  • do lado direito há uma soma x + x y^{2}.

Passo 2

Relembrando as regras de diferenciação que vamos aplicar (explicadas com calma):
  • Regra da cadeia: se F(u) é composta com u(x), então \dfrac{d}{dx}F(u(x))=F'(u(x))\cdot u'(x). Por exemplo, \dfrac{d}{dx}\arctan(2x)=\dfrac{2}{1+(2x)^{2}}.
  • Derivada de \arctan(u): \dfrac{d}{du}\arctan(u)=\dfrac{1}{1+u^{2}}. Assim, por cadeia,
\frac{d}{dx}\arctan(u(x))=\frac{u'(x)}{1+u(x)^{2}}.
  • Regra do produto: \dfrac{d}{dx}\bigl(f(x)g(x)\bigr)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x). No caso de x^{2}y(x), trate como produto x^{2}\cdot y(x): derivada é 2x\cdot y + x^{2}\cdot y', onde escrevemos y'=\dfrac{dy}{dx}.

Passo 3

Vamos derivar ambos os lados da equação em relação a x, lembrando que y depende de x.
Derivada do lado esquerdo: apliquei regra da cadeia com u(x)=x^{2}y:
\frac{d}{dx}\arctan\!\bigl(x^{2}y\bigr) =\frac{\,\dfrac{d}{dx}\!\bigl(x^{2}y\bigr)\,}{1+\bigl(x^{2}y\bigr)^{2}} =\frac{2x y + x^{2}y'}{1+(x^{2}y)^{2}}.
Derivada do lado direito: derivei termo a termo; para x a derivada é 1; para x y^{2} usei produto:
\frac{d}{dx}\bigl(x y^{2}\bigr)=1\cdot y^{2}+x\cdot 2y y' = y^{2}+2x y y'.
Portanto
\frac{d}{dx}\bigl(x+x y^{2}\bigr)=1+y^{2}+2x y y'.

Passo 4

Igualando as duas derivadas obtemos a equação para y':
\frac{2x y + x^{2}y'}{1+(x^{2}y)^{2}} = 1 + y^{2} + 2x y y'.
Para resolver para y' multiplica-se ambos os lados pelo denominador 1+(x^{2}y)^{2}=1+x^{4}y^{2}:
2x y + x^{2}y' = \bigl(1+x^{4}y^{2}\bigr)\bigl(1+y^{2}+2x y y'\bigr).
Agora vamos isolar os termos que contêm y'. Expandindo apenas a parte necessária, passamos todos os termos com y' para o lado esquerdo:
x^{2}y' - \bigl(1+x^{4}y^{2}\bigr)\cdot 2x y\, y' = \bigl(1+x^{4}y^{2}\bigr)(1+y^{2}) - 2x y.
Fatorando y' no lado esquerdo:
y'\left[x^{2} - 2x y\bigl(1+x^{4}y^{2}\bigr)\right] = \bigl(1+x^{4}y^{2}\bigr)(1+y^{2}) - 2x y.

Passo 5

Finalmente, isolando y' (ou seja, \dfrac{dy}{dx}):
\frac{dy}{dx} = \frac{\bigl(1+x^{4}y^{2}\bigr)(1+y^{2}) - 2x y}{x^{2} - 2x y\bigl(1+x^{4}y^{2}\bigr)}.
Esta é a expressão final para \dfrac{dy}{dx}. Pode-se deixar nessa forma fatorada ou expandir numerador e denominador, se preferir.

Resposta

\frac{dy}{dx} = \frac{\bigl(1+x^{4}y^{2}\bigr)(1+y^{2}) - 2x y}{x^{2} - 2x y\bigl(1+x^{4}y^{2}\bigr)}

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