Determine o intervalo de convergência da série de potências dada.
sumn=0^infty 4^n+1 x^2 nn+3

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências sumn=0^infty 4^n+1 x^2 nn+3. O conteúdo aqui é raio de convergência de séries de potências, e vamos usar o Teste da Razão para descobrir onde ela converge.

Passo 2

Primeiro, note que podemos reescrever a série em termos de y = x^2:
sumn=0^infty 4^n+1 x^2 nn+3 = sumn=0^infty 4^n+1n+3 ,y^n

Passo 3

Aplicamos o Teste da Razão em bn = tfrac4^n+1n+3. Calculemos
L = limntoinfty gl|bn+1bngr| = limntoinfty 4^n+2/(n+4)4^n+1/(n+3) = limntoinfty 4n+3n+4 = 4

Passo 4

Pelo Teste da Razão, a série em y converge se |y|<1/L = 1/4. Logo
|x|^2 < tfrac14 Longrightarrow |x| < tfrac12

Passo 5

Restam os extremos x=pmtfrac12. Substituindo em qualquer um dos dois, temos
sumn=0^infty 4^n+1n+3l(tfrac12r)^2n =4sumn=0^infty 1n+3,
que é uma série harmônica deslocada e diverge.

Passo 6

Portanto, o conjunto de convergência é
l(-tfrac12,tfrac12r)

Resposta

(-1/2,1/2)

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