Determine a derivada direcional da função f(x, y)=x^2+y^2 ao longo da reta y-x=4 no ponto P=(-1,3).
(a) raiz22;
(b) raiz2;
(c) 2 ;
(d) 2 raiz2;
(e) 4 raiz2.

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de f(x,y)=x^2+y^2 no ponto P=(-1,3) ao longo da reta y - x = 4. O conteúdo é derivada direcional via gradiente, e vamos precisar de (1) nabla f em P e (2) o vetor unitário que tangencia essa reta.

Passo 2

Calcular o gradiente de f:
nabla f(x,y) = l(partial fpartial x,,partial fpartial yr) = (2x,,2y)
Em P=(-1,3) isso dá
nabla f(-1,3) = (2cdot(-1),,2cdot3) = (-2,,6)

Passo 3

Determinar um vetor diretor da reta y - x = 4. Podemos parametrizar como
x = t, y = t + 4,
logo o vetor diretor é v=(1,1). O vetor unitário associado é
u = v|v| = (1,1)raiz1^2+1^2 = l(tfrac1raiz2,,tfrac1raiz2r)

Passo 4

A derivada direcional de f na direção u em P é
Duf(P) = nabla f(P)cdot u
Substituindo nabla f(P)=(-2,6) e u=(1/raiz2,1/raiz2):

Passo 5

Duf(-1,3) = (-2,6)cdotl(tfrac1raiz2,,tfrac1raiz2r) = -2 + 6raiz2 = 4raiz2 = 2raiz2

Resposta

2raiz2 (alternativa (d))

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