(a) Elimine o parâmetro para encontrar uma equação cartesiana da curva.
(b) Esboce a curva e indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando o parâmetro aumenta.
x=3 cos t, y=3 sen t, 0 <= t <= pi

Passo 1

O enunciado dá a curva paramétrica
x=3cos t, y=3sin t, 0<= t<=pi
e pede (a) a equação cartesiana e (b) o esboço com a direção de traçado quando t aumenta. Vamos usar a identidade trigonométrica cos^2t+sin^2t=1 para eliminar o parâmetro e depois marcar pontos-chave para desenhar.

Passo 2

Elevamos x e y ao quadrado e somamos:
x^2 = 9cos^2t, y^2 = 9sin^2t
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x^2 + y^2 = 9(cos^2t + sin^2t) = 9
Além disso, como 0<= t<=pi temos sin t>=0, isto é, y>=0. Portanto a curva é a semicircunferência superior de raio 3.

Passo 3

Para esboçar, marcamos alguns pontos:
  • t=0 (x,y)=(3,0).
  • t=tfracpi2 (x,y)=(0,3).
  • t=pi (x,y)=(-3,0).
    Traçamos o arco de círculo de centro na origem e raio 3, passando por esses pontos. Como t cresce, o ponto percorre o arco de (3,0) para (0,3) e depois para (-3,0), ou seja, no sentido anti-horário sobre a parte superior.

Resposta

(a)
x^2 + y^2 = 9, y>=0
(b) Esboço da semicircunferência de raio 3 acima do eixo x, com seta indicando o traçado de (3,0) passando por (0,3) até (-3,0) no sentido anti-horário.

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