Seja C a curva parametrizada por r(t)=(e^t, e^-t, t raiz2) entre os pontos A=(1,1,0) e B=(e, 1e, raiz2).
Assinale a alternativa que fornece o comprimento de arco de C:
(a) e-1e;
(b) e-1e-2;
(c) e+1e;
(d) e+1e-2;
(e) e-1e+raiz2.

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada
r(t) = l(e^t,,e^-t,,traiz2r)
e pede o comprimento de arco de A=(1,1,0) até B=(e,1/e,raiz2).
O conteúdo é comprimento de arco de curva parametrizada, cuja fórmula é
L = integrala^b | r'(t)|,dt

Passo 2

Precisamos achar os valores de t em A e B.
Em t=0 temos
r(0)=(e^0,e^0,0)=(1,1,0)=A,
e em t=1
r(1)=(e,e^-1,raiz2)=B.
Logo os limites de integração são a=0 e b=1.

Passo 3

Calculamos a derivada vetorial:
r'(t) = l(e^t,,-e^-t,,raiz2r)
A norma é
| r'(t)| = raiz(e^t)^2 + (-e^-t)^2 + (raiz2)^2 = raize^2t + e^-2t + 2

Passo 4

Note que
e^2t + e^-2t + 2 = l(e^t+e^-tr)^2,
portanto
| r'(t)| = e^t + e^-t

Passo 5

O comprimento de arco fica
L = integral0^1 l(e^t + e^-tr),dt = l[e^t - e^-tr]0^1 = l(e - tfrac1er) - (1 - 1) = e - tfrac1e

Resposta

(a) e - 1e

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