Seja h(t)=f(e^t cos t, e^t sin t) onde f: R^2 R é uma função diferenciável.
Sabendo que partial fpartial x(0, e^pi2)=partial fpartial y(0, e^pi2), assinale a alternativa que corresponde a h^prime(pi2).
(a) 2 e^pi2;
(b) e^pi2;
(c) 0 ;
(d) -e^pi2;
(e) -2 e^pi2.

Passo 1

O enunciado define
h(t)=fl(u(t),v(t)r),
onde
u(t)=e^tcos t, v(t)=e^tsin t,
e pede h'l(tfracpi2r). Vamos usar a regra da cadeia para funções de várias variáveis.

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia, temos
h'(t) =partial fpartial xl(u(t),v(t)r),u'(t) +partial fpartial yl(u(t),v(t)r),v'(t)

Passo 3

Calculamos agora as derivadas de u e v:
u'(t) =ddtl(e^tcos tr) =e^tcos t - e^tsin t,
v'(t) =ddtl(e^tsin tr) =e^tsin t + e^tcos t

Passo 4

Avaliar em t=tfracpi2:
ul(tfracpi2r) =e^pi2cos!tfracpi2=0, vl(tfracpi2r) =e^pi2sin!tfracpi2=e^pi2,
u'l(tfracpi2r) =e^pi2cos!tfracpi2-e^pi2sin!tfracpi2 =-e^pi2,
v'l(tfracpi2r) =e^pi2sin!tfracpi2+e^pi2cos!tfracpi2 =e^pi2

Passo 5

No ponto l(u,vr)=(0,e^pi2) vale partial fpartial x=partial fpartial y. Seja esse valor comum A. Logo
h'l(tfracpi2r) =Al(-e^pi2r) + Al(e^pi2r) =0

Resposta

(c)

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