Determine se
é contínua em
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a função vetorial
é contínua em
. Informações relevantes dadas ou óbvias:
- A primeira componente é
. - A segunda componente escrita como
é a cosecante, isto é . - É necessário verificar continuidade em
.
Passo 2
Recordando a definição prática de continuidade para funções vetoriais (explicação didática): seja
A função
é contínua em
se e somente se:
-
está definida (ou seja, cada componente e existe); e -
.
Equivalente e prático:é contínua em se e só se cada componente e for contínua em . Vou usar essa equivalência componente a componente porque é a forma mais direta de testar continuidade de funções vetoriais.
Passo 3
Verificar se
está definida:
- Para a primeira componente:
portanto existe. - Para a segunda componente, usar a igualdade que listei:
. Como , a expressão é indefinida. Logo não existe, isto é, não está definido.
Observação direta (consequência lógica): se
não está definido,
não pode ser contínua em
(continuidade exige que a função tenha valor no ponto).
Passo 4
Mesmo que já tenha ficado claro pelo fato de
não existir, é didático verificar o comportamento do limite para reforçar a razão da descontinuidade. Primeiro a primeira componente:
porque a função exponencial é contínua em todos os pontos. Então a componente
não causa problema.
Passo 5
Agora a segunda componente:
Para entender o limite quando
é útil olhar os limites laterais e o sinal de
perto de zero.
- Quando
, tem-se e . Então . - Quando
, tem-se e . Então .
Como as duas limitações unilaterais divergem em sinais opostos, não existe limite finito
; na verdade a expressão diverge (vai para
pela direita e para
pela esquerda). Portanto a segunda componente não tem limite finito em
.
Passo 6
Conclusão combinada e comentário didático: a segunda componente
nem sequer está definida em
e ainda por cima tem comportamento divergente ao aproximar-se de
. Isso impede tanto a existência de
quanto a existência de
. Pelo critério componente a componente,
não é contínua em
.
Resposta
Não —
não é contínua em
, pois a segunda componente
não está definida em
(e seus limites laterais divergem).