Determine se r(t)=\left(e^{t}, \operatorname{cossec} t\right) é contínua em t=0.

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a função vetorial
r(t)=\bigl(e^{t},\\ \operatorname{cossec} t\bigr)
é contínua em t=0. Informações relevantes dadas ou óbvias:
  • A primeira componente é e^{t}.
  • A segunda componente escrita como \operatorname{cossec} t é a cosecante, isto é \operatorname{cossec} t=\csc t=\dfrac{1}{\sin t}.
  • É necessário verificar continuidade em t=0.

Passo 2

Recordando a definição prática de continuidade para funções vetoriais (explicação didática): seja
r(t)=\bigl(r_1(t),\,r_2(t)\bigr).
A função r é contínua em t=0 se e somente se:
  1. r(0) está definida (ou seja, cada componente r_1(0) e r_2(0) existe); e
  2. \displaystyle\lim_{t\to0} r(t)=r(0).
    Equivalente e prático: r é contínua em 0 se e só se cada componente r_1 e r_2 for contínua em 0. Vou usar essa equivalência componente a componente porque é a forma mais direta de testar continuidade de funções vetoriais.

Passo 3

Verificar se r(0) está definida:
  • Para a primeira componente: r_1(0)=e^{0}=1,portanto r_1(0) existe.
  • Para a segunda componente, usar a igualdade que listei: \operatorname{cossec} t=\csc t=\dfrac{1}{\sin t}. Como \sin 0=0, a expressão \dfrac{1}{\sin 0} é indefinida. Logo r_2(0) não existe, isto é, r(0) não está definido.
Observação direta (consequência lógica): se r(0) não está definido, r não pode ser contínua em 0 (continuidade exige que a função tenha valor no ponto).

Passo 4

Mesmo que já tenha ficado claro pelo fato de r(0) não existir, é didático verificar o comportamento do limite para reforçar a razão da descontinuidade. Primeiro a primeira componente:
\lim_{t\to0} e^{t}=e^{0}=1,
porque a função exponencial é contínua em todos os pontos. Então a componente r_1 não causa problema.

Passo 5

Agora a segunda componente:
r_2(t)=\csc t=\frac{1}{\sin t}.
Para entender o limite quando t\to0 é útil olhar os limites laterais e o sinal de \sin t perto de zero.
  • Quando t\to0^{+}, tem-se \sin t>0 e \sin t\to0^{+}. Então \dfrac{1}{\sin t}\to+\infty.
  • Quando t\to0^{-}, tem-se \sin t<0 e \sin t\to0^{-}. Então \dfrac{1}{\sin t}\to-\infty.
Como as duas limitações unilaterais divergem em sinais opostos, não existe limite finito \displaystyle\lim_{t\to0}\csc t; na verdade a expressão diverge (vai para +\infty pela direita e para -\infty pela esquerda). Portanto a segunda componente não tem limite finito em 0.

Passo 6

Conclusão combinada e comentário didático: a segunda componente \operatorname{cossec} t=\csc t nem sequer está definida em t=0 e ainda por cima tem comportamento divergente ao aproximar-se de 0. Isso impede tanto a existência de r(0) quanto a existência de \lim_{t\to0} r(t). Pelo critério componente a componente, r não é contínua em t=0.

Resposta

Não — r(t) não é contínua em t=0, pois a segunda componente \operatorname{cossec} t=\csc t=\dfrac{1}{\sin t} não está definida em t=0 (e seus limites laterais divergem).

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