Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v.
a) f(x, y)=1+2 x raizy, (2,3), v=<4,-3>

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivada direcional juntos! A gente tem a função $ f(x, y) = 1 + 2x\sqrt{y} $ no ponto f(x, y) = 1 + 2xraizy , e queremos encontrar a derivada direcional nessa direção do vetor $ \mathbf{v} = \langle 4, -3 \rangle $. Para isso, vamos precisar entender o que é derivada direcional, como calcular o gradiente da função e como usar o vetor direção. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada direcional. Ela nos diz como a função muda em uma direção específica. Para calcular isso, precisamos do gradiente da função, que é um vetor formado pelas derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $.

Passo 3

Vamos encontrar as derivadas parciais de $ f(x, y) = 1 + 2x\sqrt{y} $:
  • Derivada parcial em relação a $ x $:
    f(x, y) = 1 + 2xraizy
  • Derivada parcial em relação a $ y $:
    x
Então, o gradiente $ \nabla f $ é:
partial fpartial x = 2raizy

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto (2, 3):
  • $ \sqrt{3} $ é a raiz quadrada de 3.
  • Então, raiz3

Passo 5

Em seguida, precisamos encontrar o vetor direção unitário na direção de $ \mathbf{v} = \langle 4, -3 \rangle $. Para isso, dividimos o vetor pela sua magnitude:
  • Magnitude de $ \mathbf{v} $:
    v = lang<= 4, -3 rang<=
  • Vetor unitário $ \mathbf{u} $:
    v

Passo 6

Agora, a derivada direcional $ D_{\mathbf{u}} f(2, 3) $ é o produto escalar do gradiente no ponto com o vetor direção unitário:
Du f(2, 3)
Calculando o produto escalar:
Du f(2, 3) = nabla f(2, 3) cdot u = lang<= 2raiz3, 2raiz3 rang<= cdot lang<= 45, -35 rang<=

Passo 7

Vamos simplificar a expressão:
Du f(2, 3) = 8raiz35 - 65raiz3 = 8raiz3 cdot raiz35 cdot raiz3 - 65raiz3 = 245raiz3 - 65raiz3 = 185raiz3
Podemos racionalizar o denominador multiplicando numerador e denominador por $ \sqrt{3} $:
raiz3

Resposta

A derivada direcional da função no ponto (2, 3) na direção do vetor $ \mathbf{v} = \langle 4, -3 \rangle $ é $ \frac{6\sqrt{3}}{5} $.

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