Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor
.
a)
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de derivada direcional juntos! A gente tem a função $ f(x, y) = 1 + 2x\sqrt{y} $ no ponto
, e queremos encontrar a derivada direcional nessa direção do vetor $ \mathbf{v} = \langle 4, -3 \rangle $. Para isso, vamos precisar entender o que é derivada direcional, como calcular o gradiente da função e como usar o vetor direção. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada direcional. Ela nos diz como a função muda em uma direção específica. Para calcular isso, precisamos do gradiente da função, que é um vetor formado pelas derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $.
Passo 3
Vamos encontrar as derivadas parciais de $ f(x, y) = 1 + 2x\sqrt{y} $:
-
Derivada parcial em relação a $ x $:
-
Derivada parcial em relação a $ y $:
Então, o gradiente $ \nabla f $ é:
Passo 4
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
:
- $ \sqrt{3} $ é a raiz quadrada de 3.
- Então,
Passo 5
Em seguida, precisamos encontrar o vetor direção unitário na direção de $ \mathbf{v} = \langle 4, -3 \rangle $. Para isso, dividimos o vetor pela sua magnitude:
-
Magnitude de $ \mathbf{v} $:
-
Vetor unitário $ \mathbf{u} $:
Passo 6
Agora, a derivada direcional $ D_{\mathbf{u}} f(2, 3) $ é o produto escalar do gradiente no ponto com o vetor direção unitário:
Calculando o produto escalar:
Passo 7
Vamos simplificar a expressão:
Podemos racionalizar o denominador multiplicando numerador e denominador por $ \sqrt{3} $:
Resposta
A derivada direcional da função no ponto
na direção do vetor $ \mathbf{v} = \langle 4, -3 \rangle $ é $ \frac{6\sqrt{3}}{5} $.