Sabendo que A e B são subconjuntos de U, $\bar{A}={e, f, g, h, i}, A \cap B={c, d}, A \cup B={a, b, c, d, e, f}, r e s p o n d a: Quantos elementos tem A? E B?

Passo 1

Nesse exercício temos dois subconjuntos A e B de um universo U, e nos dão: o complemento de A (
bar A=e,f,g,h,i), a interseção A∩B ( c,d) e a união A∪B ( a,b,c,d,e,f). Vamos usar dois conceitos: cardinalidade de complemento e a fórmula de inclusão-exclusão para conjuntos.

Passo 2

Para encontrar o universo U, note que todo elemento de U está ou em bar A ou em A. Como não sabemos A diretamente, mas sabemos A∪B e bar A, podemos escrever
U = (Acup B) cup bar A

Passo 3

Agora listamos
(Acup B) cup bar A = a,b,c,d,e,f cup e,f,g,h,i = a,b,c,d,e,f,g,h,i
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|U| = 9

Passo 4

Usamos a relação entre A e seu complemento:
|A| = |U| - |bar A| = 9 - 5 = 4

Passo 5

Para achar |B|, aplicamos a fórmula de inclusão-exclusão para dois conjuntos:
|Acup B| = |A| + |B| - |Acap B|

Passo 6

Isolando |B| e substituindo os valores temos
6 = 4 + |B| - 2 Longrightarrow |B| = 6 - 4 + 2 = 4

Resposta

|A| = 4 e |B| = 4.

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