Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v.
f(x, y)=1+2 x raizy, (3,4), v=(4,-3).

Passo 1

A questão pede a derivada direcional de f(x,y)=1+2x\sqrt{y} no ponto (3,4) na direção de v=(4,−3). O conteúdo aqui é derivada direcional, que usamos definindo o gradiente de f e projetando-o num vetor unitário u que aponta na direção de v.

Passo 2

Primeiro calculamos o gradiente de f. Como f(x,y)=1+2x\sqrt{y}, temos as derivadas parciais:
fx=partial fpartial x=2raizy, fy=partial fpartial y=2xcdot12raizy=xraizy

Passo 3

Em seguida avaliamos o gradiente no ponto (3,4):
fx(3,4)=2raiz4=4, fy(3,4)=3raiz4=32
Logo
nabla f(3,4)=(4,tfrac32)

Passo 4

Agora normalizamos o vetor v=(4,−3). Calculemos sua norma:
|v|=raiz4^2+(-3)^2=raiz16+9=5
O vetor unitário é
u=15(4,-3)=l(tfrac45,-tfrac35r)

Passo 5

Por fim, a derivada direcional é o produto escalar entre o gradiente e u:
Duf(3,4)=nabla f(3,4)cdot u=4cdottfrac45+tfrac32cdotl(-tfrac35r)=tfrac165-tfrac910=tfrac32-910=tfrac2310

Resposta

tfrac2310

Exercícios relacionados