Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v.
f(x, y)=y^2x, (1,2), v=13(2, raiz5)

Passo 1

No resumo, a gente tem a função f(x,y)=y²/x, o ponto (1,2) e a direção dada pelo vetor unitário v= tfrac13(2,raiz5). O conteúdo é derivada direcional, que usa gradiente e produto escalar.

Passo 2

Para calcular a derivada direcional, lembramos que Dvf(p)=nabla f(p)cdot v e que nabla f=(fx,fy), onde fx=partial f/partial x e fy=partial f/partial y.

Passo 3

Primeiro, encontramos as derivadas parciais de f: inline as fórmulas
$$
f_x(x,y)=-\frac{y2}{x2},\n$$
fx(x,y)=-y^2x^2,n

Passo 4

Em seguida, avaliamos essas derivadas no ponto (1,2):
$$
f_x(1,2)=-\frac{4}{1}=-4,\n$$
fx(1,2)=-41=-4,n
Logo, fy(1,2)=41=4 .

Passo 5

Agora basta fazer o produto escalar com v:
nabla f(1,2)cdot v =(-4,4)cdot13(2,raiz5)
Simplificando,
=13(-8+4raiz5)=4(raiz5-2)3

Resposta

Dvf(1,2)=4(raiz5-2)3

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