Seja
f(x)=x^5 / 3-5 x^2 / 3
Determine:
Assíntotas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar as assíntotas da função $ f(x) = x^{5/3} - 5x^{2/3} $. A matéria envolvida aqui é o estudo das assíntotas em funções, que são linhas que a função se aproxima, mas nunca toca. Para resolver isso, vamos precisar analisar o comportamento da função quando $ x $ vai para o infinito positivo e negativo, além de verificar se há algum ponto onde a função possa ter assíntotas verticais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que existem três tipos de assíntotas:
  1. Assíntota horizontal: quando a função se aproxima de uma linha horizontal quando $ x $ vai para $ +\infty $ ou $ -\infty $.
  2. Assíntota vertical: ocorre em pontos onde a função não está definida, geralmente onde o denominador é zero.
  3. Assíntota oblíqua (ou inclinada): quando a função se aproxima de uma linha reta que não é horizontal.
Vamos começar verificando se há assíntotas horizontais.

Passo 3

Para encontrar assíntotas horizontais, analisamos o limite da função quando $ x $ vai para $ +\infty $ e $ -\infty $.
Calculando o limite quando $ x \to +\infty $:
x
Aqui, $ x^{5/3} $ cresce muito mais rápido que $ 5x^{2/3} $, então o limite vai para $ +\infty $. Isso indica que não há uma assíntota horizontal no $ +\infty $.
Fazendo o mesmo para $ x \to -\infty $:
+infty
Para $ x $ negativo, $ x^{5/3} $ será negativo (porque a potência 5 é ímpar) e tende para $ -\infty $, enquanto $ -5x^{2/3} $ será negativo também, mas cresce mais devagar. Assim, o limite também vai para $ -\infty $. Novamente, não há assíntota horizontal.

Passo 4

Agora, vamos verificar se existe alguma assíntota vertical. Normalmente, isso acontece onde a função não está definida, como divisões por zero. Mas, na função $ f(x) = x^{5/3} - 5x^{2/3} $, não temos denominadores, então a função está definida para todo $ x $ real. Portanto, não há assíntotas verticais.

Passo 5

Por último, vamos investigar se há assíntotas oblíquas. Para isso, comparamos o grau da função. A função $ f(x) = x^{5/3} - 5x^{2/3} $ tem como termo de maior grau $ x^{5/3} $.
Normalmente, assíntotas oblíquas aparecem quando o grau do numerador é exatamente um a mais que o do denominador em uma função racional. Mas aqui, nossa função não é uma razão de polinômios, e sim uma combinação de potências fracionárias. Além disso, como o termo $ x^{5/3} $ domina o comportamento da função, ela cresce sem se aproximar de nenhuma linha reta específica.

Resposta

A função $ f(x) = x^{5/3} - 5x^{2/3} $ não possui assíntotas horizontais, verticais ou oblíquas.

Exercícios relacionados