Supondo que alpha e beta são constantes, u e v são campos escalares e F e G são campos vetoriais, deduza as seguintes relações do cálculo diferencial.
d. div(alpha F+beta G)=alpha div F+beta div G

Passo 1

Neste exercício vamos mostrar que a divergência é uma operação linear, isto é, que satisfaz div(alphaF+betaG)=alphadivF+betadivG. Para isso, vamos usar a definição de divergência e a linearidade da derivada parcial.

Passo 2

Sejam os campos vetoriais F=(F1,F2,F3) e G=(G1,G2,G3). Por definição de divergência, temos:
divF =partial F1partial x+partial F2partial y+partial F3partial z

Passo 3

O campo alphaF+betaG tem componentes l(alpha F1+beta G1,alpha F2+beta G2,alpha F3+beta G3r). Logo, a divergência é dada por:
div(alphaF+betaG) =partial(alpha F1+beta G1)partial x +partial(alpha F2+beta G2)partial y +partial(alpha F3+beta G3)partial z

Passo 4

Como alpha e beta são constantes, podemos usar a linearidade da derivada parcial, extraindo constantes para fora das derivadas. Assim:
div(alphaF+betaG) =alphapartial F1partial x+betapartial G1partial x +alphapartial F2partial y+betapartial G2partial y +alphapartial F3partial z+betapartial G3partial z

Passo 5

Agrupando os termos com alpha e beta, encontramos:
div(alphaF+betaG) =alphal(tfracpartial F1partial x+tfracpartial F2partial y+tfracpartial F3partial zr) +betal(tfracpartial G1partial x+tfracpartial G2partial y+tfracpartial G3partial zr) =alpha,divF+beta,divG

Resposta

div(alphaF+betaG)=alphadivF+betadivG

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