Supondo que alpha e beta são constantes, u e v são campos escalares e F e G são campos vetoriais, deduza as seguintes relações do cálculo diferencial.
i. div(v nabla u)=v triang<= u+nabla u cdot nabla v

Passo 1

O enunciado pede para deduzir a identidade div(v nabla u)=v De. O conteúdo envolve divergência, gradiente e laplaciano; vamos usar a regra do produto para derivadas e as definições dessas operações.

Passo 2

Definimos: a divergência de um campo vetorial vec A=(A1,A2,A3) é divvec A=sumi=1^3partiali Ai, o gradiente de um escalar u é nabla u=(partial1 u,partial2 u,partial3 u) e o laplaciano é De.

Passo 3

Considere o campo vetorial vec A=vnabla u. Cada componente é Ai=v,partiali u. Logo,

Passo 4

Aplicando a definição de divergência e a regra do produto:
div(vnabla u) = sumi=1^3 partialil(v,partiali ur) = sumi=1^3 l(partiali vr)l(partiali ur) + vsumi=1^3 partiali^2 u
Reconhecendo que sumi (partiali v)(partiali u)=nabla vcdotnabla u e sumi partiali^2 u=De, concluímos a identidade.

Resposta

div(v nabla u)=v De

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