Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v.
f(x, y)=xx^2+y^2, (1,2), v=lang<= 3,5rang<= h(r, s, t)=ln (3 r+6 s+9 t), (1,1,1), v=4 i+12 j+6 k

Passo 1

Estamos com duas funções e queremos as derivadas direcionais no ponto dado na direção do vetor v.
Conteúdo: para qualquer função diferenciável g, a derivada direcional em direção unitária u vale
D ug( p)=nabla g( p)cdot u,
onde nabla g é o vetor gradiente e u= v/| v|.

Passo 2

Vamos calcular o gradiente de
f(x,y)=xx^2+y^2
Usando a regra do quociente ou escrevendo f(x,y)=x,(x^2+y^2)^-1, temos
partial fpartial x =(x^2+y^2)-2x^2(x^2+y^2)^2 =y^2 - x^2(x^2+y^2)^2,
partial fpartial y =-,2xy(x^2+y^2)^2
Logo
boxednabla f(x,y) =l(y^2 - x^2(x^2+y^2)^2,,-2xy(x^2+y^2)^2r)

Passo 3

Avaliaremos nabla f em (1,2) e normalizaremos v=lang<=3,5rang<=.
Em (1,2):
partial fpartial x(1,2) =2^2-1^2(1+4)^2 =4-125 =325, partial fpartial y(1,2) =-2cdot1cdot225 =-425
Norma de lang<=3,5rang<= é raiz9+25=raiz34, então
u =1raiz34lang<=3,5rang<=

Passo 4

A derivada direcional de f em (1,2) é
D uf(1,2) =nabla f(1,2)cdot u =l(325,-425r)!cdotlang<=3,5rang<=raiz34 =1raiz343cdot3 + (-4)cdot525 =-1125raiz34

Passo 5

Agora para
h(r,s,t)=ln(3r+6s+9t)
usamos a regra da cadeia:
partial hpartial r =33r+6s+9t, partial hpartial s =63r+6s+9t, partial hpartial t =93r+6s+9t
Logo
boxednabla h(r,s,t) =13r+6s+9t,lang<=3,6,9rang<=

Passo 6

Em (1,1,1) o denominador vale 3+6+9=18, então
nabla h(1,1,1) =lang<=tfrac318,tfrac618,tfrac918rang<= =lang<=tfrac16,tfrac13,tfrac12rang<=
Para v=4 i+12 j+6 k temos
| v|=raiz4^2+12^2+6^2=raiz196=14 e
u=lang<=tfrac414,tfrac1214,tfrac614rang<= =lang<=tfrac27,tfrac67,tfrac37rang<=

Passo 7

A derivada direcional de h em (1,1,1) é
D uh(1,1,1) =nabla h(1,1,1)cdot u =llang<=tfrac16,tfrac13,tfrac12rrang<=!cdotllang<=tfrac27,tfrac67,tfrac37rrang<= =16cdot27+13cdot67+12cdot37 =2342

Resposta

Derivada direcional de f em (1,2) na direção de lang<=3,5rang<=:
-1125raiz34
Derivada direcional de h em (1,1,1) na direção de 4 i+12 j+6 k:
2342

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