Determine a taxa de variação máxima da função no ponto dado e a direção em que isso ocorre.
Passo 1
O enunciado pede, para cada função e ponto dados, a taxa de variação máxima (ou seja, o valor máximo da derivada direcional) e a direção em que ela ocorre. O conteúdo usado será o gradiente de uma função multivariável, pois sabemos que a direção de maior crescimento é a do vetor gradiente, e seu módulo é a taxa de variação máxima.
Passo 2
Para
no ponto
, calculamos o gradiente:
Em
temos
A taxa de variação máxima é o módulo
, e a direção unitária é
Passo 3
Para
no ponto
, resumimos o conteúdo: de novo usaremos o gradiente para achar direção de maior crescimento. Calculamos
Em
temos
e
, logo
A taxa de variação máxima é
, e a direção unitária é
.
Passo 4
Para
no ponto
, aplicamos o mesmo procedimento.
Em
dá
O módulo é
, e a direção unitária é
Resposta
- Para
em :
taxa máxima, direção . - Para
em :
taxa máxima, direção . - Para
em :
taxa máxima, direção .