Determine a taxa de variação máxima da função no ponto dado e a direção em que isso ocorre.
f(x, y, z)=x ln (y z), (1,2, 12) f(x, y)=sen(x y), (1,0) f(x, y)=5 x y^2, (3,-2)

Passo 1

O enunciado pede, para cada função e ponto dados, a taxa de variação máxima (ou seja, o valor máximo da derivada direcional) e a direção em que ela ocorre. O conteúdo usado será o gradiente de uma função multivariável, pois sabemos que a direção de maior crescimento é a do vetor gradiente, e seu módulo é a taxa de variação máxima.

Passo 2

Para f(x,y,z)=xln(yz) no ponto l(1,2,tfrac12r), calculamos o gradiente:
partial fpartial x=ln(yz), partial fpartial y=xcdotzyz=xy, partial fpartial z=xcdotyyz=xz
Em l(1,2,tfrac12r) temos
nabla f(1,2,tfrac12) =l(ln(2cdottfrac12),,tfrac12,,tfrac1tfrac12r) =(0,tfrac12,2)
A taxa de variação máxima é o módulo |nabla f|=raiz0^2+(tfrac12)^2+2^2=tfracraiz172, e a direção unitária é
nabla f|nabla f| =(0,tfrac12,2)tfracraiz172 =(0,1,4)raiz17

Passo 3

Para f(x,y)=sin(xy) no ponto (1,0), resumimos o conteúdo: de novo usaremos o gradiente para achar direção de maior crescimento. Calculamos
partial fpartial x=ycos(xy), partial fpartial y=xcos(xy)
Em (1,0) temos xy=0 e cos0=1, logo
nabla f(1,0)=(0cdot1,,1cdot1)=(0,1)
A taxa de variação máxima é |nabla f|=1, e a direção unitária é (0,1).

Passo 4

Para f(x,y)=5xy^2 no ponto (3,-2), aplicamos o mesmo procedimento.
partial fpartial x=5y^2, partial fpartial y=10xy
Em (3,-2)
nabla f(3,-2)=(5cdot4,;10cdot3cdot(-2))=(20,-60)
O módulo é raiz20^2+(-60)^2=20raiz10, e a direção unitária é
(20,-60)20raiz10 =(1,-3)raiz10

Resposta

  1. Para f(x,y,z)=xln(yz) em l(1,2,tfrac12r):
    taxa máxima =tfracraiz172, direção =(0,1,4)raiz17.
  2. Para f(x,y)=sin(xy) em (1,0):
    taxa máxima =1, direção =(0,1).
  3. Para f(x,y)=5xy^2 em (3,-2):
    taxa máxima =20raiz10, direção =(1,-3)raiz10.

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