Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor
.
Passo 1
O enunciado pede: “Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor
.” \n
Dados fornecidos: , o ponto
e o vetor de direção
Dados fornecidos:
Passo 2
O que significa “derivada direcional” e como vamos encontrá-la (explicação didática). \n
A derivada direcional de no ponto
na direção de um vetor
mede a taxa de variação de
quando nos movemos a partir de
com a orientação de
. Para obter esse número usamos a fórmula que envolve as derivadas parciais de
e o vetor unitário na direção de
. \n
Mais precisamente, se é o vetor das derivadas parciais e
é o vetor unitário na direção de
, então a derivada direcional é o produto escalar
A derivada direcional de
Mais precisamente, se
Aqui o produto escalar entre
e
é
. \n
Observação importante: devemos usar o vetor unitário (ou seja, normalizar
) porque a derivada direcional mede variação por unidade de comprimento, não por “tamanho arbitrário” do vetor.
Observação importante: devemos usar o vetor unitário
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais
e
. \n
A função é \n
Derivada parcial em relação a : tratamos
como constante e derivamos em relação a
. Assim
A função é
Derivada parcial em relação a
Explicação: a derivada de
em relação a
é
porque
é constante nesse processo. \n
Derivada parcial em relação a : tratamos
como constante e usamos a regra da potência. Temos
Derivada parcial em relação a
Explicação: começamos com
; a derivada de
em relação a
é
, e multiplicamos pelo fator
.
Passo 4
Avaliar as derivadas parciais no ponto
. \n
Primeiro calcule . \n
Logo
Primeiro calcule
Logo
Portanto o gradiente no ponto é
Passo 5
Agora normalizar o vetor
para obter o vetor unitário
. \n
Compute o comprimento (norma) de :
Compute o comprimento (norma) de
O vetor unitário é
Passo 6
Aplicar a fórmula da derivada direcional como produto escalar entre o gradiente e
. \n
Temos
Temos
Calcule o produto escalar componente a componente:
Passo 7
Fazer as contas com atenção e simplificar passo a passo. \n
Primeiro termo:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Somando os dois termos (colocando no mesmo denominador
):
Portanto a derivada direcional vale
, que também é
.