Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor \mathbf{v}.
f(x, y)=1+2 x \sqrt{y}, (3,4), \mathbf{v}=\langle 4,-3\rangle

Passo 1

O enunciado pede: “Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor \mathbf{v}.” \n
Dados fornecidos: \,f(x,y)=1+2x\sqrt{y}\,, o ponto \,(3,4)\, e o vetor de direção \,\mathbf{v}=\langle 4,-3\rangle\.

Passo 2

O que significa “derivada direcional” e como vamos encontrá-la (explicação didática). \n
A derivada direcional de f no ponto (x_0,y_0) na direção de um vetor \mathbf{v} mede a taxa de variação de f quando nos movemos a partir de (x_0,y_0) com a orientação de \mathbf{v}. Para obter esse número usamos a fórmula que envolve as derivadas parciais de f e o vetor unitário na direção de \mathbf{v}. \n
Mais precisamente, se \nabla f(x_0,y_0)=\langle f_x(x_0,y_0),\,f_y(x_0,y_0)\rangle é o vetor das derivadas parciais e \mathbf{u} é o vetor unitário na direção de \mathbf{v}, então a derivada direcional é o produto escalar
D_{\mathbf{u}}f(x_0,y_0)=\nabla f(x_0,y_0)\cdot \mathbf{u}.
Aqui o produto escalar entre \langle a,b\rangle e \langle c,d\rangle é ac+bd. \n
Observação importante: devemos usar o vetor unitário \mathbf{u} (ou seja, normalizar \mathbf{v}) porque a derivada direcional mede variação por unidade de comprimento, não por “tamanho arbitrário” do vetor.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais f_x e f_y. \n
A função é \,f(x,y)=1+2x\sqrt{y}=1+2x\,y^{1/2}. \n
Derivada parcial em relação a x: tratamos y como constante e derivamos em relação a x. Assim
f_x(x,y)=2\sqrt{y}=2y^{1/2}.
Explicação: a derivada de 2x\cdot y^{1/2} em relação a x é 2\cdot y^{1/2} porque y^{1/2} é constante nesse processo. \n
Derivada parcial em relação a y: tratamos x como constante e usamos a regra da potência. Temos
f_y(x,y)=2x\cdot\frac{1}{2}y^{-1/2}=x\,y^{-1/2}=\frac{x}{\sqrt{y}}.
Explicação: começamos com 2x\,y^{1/2}; a derivada de y^{1/2} em relação a y é \tfrac{1}{2}y^{-1/2}, e multiplicamos pelo fator 2x.

Passo 4

Avaliar as derivadas parciais no ponto (3,4). \n
Primeiro calcule \sqrt{4}=2. \n
Logo
f_x(3,4)=2\sqrt{4}=2\cdot 2=4.
f_y(3,4)=\frac{3}{\sqrt{4}}=\frac{3}{2}.
Portanto o gradiente no ponto é
\nabla f(3,4)=\Big\langle 4,\;\frac{3}{2}\Big\rangle.

Passo 5

Agora normalizar o vetor \mathbf{v}=\langle 4,-3\rangle para obter o vetor unitário \mathbf{u}. \n
Compute o comprimento (norma) de \mathbf{v}:
\|\mathbf{v}\|=\sqrt{4^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5.
O vetor unitário é
\mathbf{u}=\frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|}=\Big\langle \frac{4}{5},\;-\frac{3}{5}\Big\rangle.

Passo 6

Aplicar a fórmula da derivada direcional como produto escalar entre o gradiente e \mathbf{u}. \n
Temos
D_{\mathbf{u}}f(3,4)=\nabla f(3,4)\cdot \mathbf{u} =\Big\langle 4,\;\frac{3}{2}\Big\rangle\cdot \Big\langle \frac{4}{5},\;-\frac{3}{5}\Big\rangle.
Calcule o produto escalar componente a componente:
D_{\mathbf{u}}f(3,4)=4\cdot\frac{4}{5}+\frac{3}{2}\cdot\Big(-\frac{3}{5}\Big).

Passo 7

Fazer as contas com atenção e simplificar passo a passo. \n
Primeiro termo:
4\cdot\frac{4}{5}=\frac{16}{5}.
Segundo termo:
\frac{3}{2}\cdot\Big(-\frac{3}{5}\Big)=-\frac{9}{10}.
Somando os dois termos (colocando no mesmo denominador 10):
\frac{16}{5}-\frac{9}{10}=\frac{32}{10}-\frac{9}{10}=\frac{23}{10}.
Portanto a derivada direcional vale \dfrac{23}{10}, que também é 2{,}3.

Resposta

\dfrac{23}{10}

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