Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor \mathbf{v}.
g(p, q)=p^{4}-p^{2} q^{3}, (2,1), \mathbf{v}=\mathbf{i}+3 \mathbf{j}

Passo 1

O enunciado pede: determinar a derivada directional da função no ponto dado, na direção do vetor \mathbf{v}.
Dados fornecidos:
g(p,q)=p^{4}-p^{2}q^{3},
ponto (2,1) e vetor direção \mathbf{v}=\mathbf{i}+3\mathbf{j} (ou seja, \mathbf{v}=(1,3)).
A pergunta é: qual é o valor da derivada direcional de g em (2,1) na direção de \mathbf{v}?

Passo 2

O que é a derivada direcional? Vou explicar de forma simples e prática. A derivada direcional de uma função de duas variáveis g(p,q) em um ponto (p_0,q_0) na direção de um vetor unitário \mathbf{u} mede a taxa de variação de g quando nos movemos do ponto na direção de \mathbf{u}. A definição por limite é
D_{\mathbf{u}}g(p_0,q_0)=\lim_{h\to0}\frac{g(p_0+hu_1,q_0+hu_2)-g(p_0,q_0)}{h},
onde \mathbf{u}=(u_1,u_2) é unitário. Importante: a direção deve ser dada por um vetor unitário — se você tem \mathbf{v} qualquer, primeiro normaliza para \mathbf{u}=\mathbf{v}/\|\mathbf{v}\|.

Passo 3

Regra prática muito usada em prova: se g é diferenciável (caso típico para polinômios), a derivada direcional pode ser obtida pelo produto escalar do gradiente com o vetor unitário:
D_{\mathbf{u}}g(p_0,q_0)=\nabla g(p_0,q_0)\cdot\mathbf{u}.
Aqui \nabla g=(\partial g/\partial p,\;\partial g/\partial q). Então precisamos:
  1. calcular as derivadas parciais \partial g/\partial p e \partial g/\partial q;
  2. avaliar essas derivadas em (2,1) para obter \nabla g(2,1);
  3. normalizar \mathbf{v}=(1,3) para obter \mathbf{u};
  4. calcular o produto escalar \nabla g(2,1)\cdot\mathbf{u}.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais. Vou explicar passo a passo as regras que usamos:
  • Para \partial/\partial p de p^{4} usamos a regra da potência: \dfrac{d}{dp}p^{4}=4p^{3}.
  • Para \partial/\partial p de -p^{2}q^{3} tratamos q como constante e usamos produto constante -q^{3}\cdot p^{2}, então a derivada é -q^{3}\cdot 2p=-2p q^{3}.
    Portanto
\frac{\partial g}{\partial p}(p,q)=4p^{3}-2p q^{3}.
Agora \partial/\partial q:
  • O termo p^{4} não depende de q, então deriva para 0.
  • Para -p^{2}q^{3} derivamos em q: -p^{2}\cdot \dfrac{d}{dq}q^{3}=-p^{2}\cdot 3q^{2}=-3p^{2}q^{2}.
    Logo
\frac{\partial g}{\partial q}(p,q)=-3p^{2}q^{2}.

Passo 5

Avaliar as derivadas parciais no ponto (2,1). Calcule com calma cada termo:
Para \dfrac{\partial g}{\partial p}(2,1):
4p^{3}=4\cdot 2^{3}=4\cdot 8=32,
-2p q^{3}=-2\cdot 2\cdot 1^{3}=-4.
Somando,
\frac{\partial g}{\partial p}(2,1)=32-4=28.
Para \dfrac{\partial g}{\partial q}(2,1):
-3p^{2}q^{2}=-3\cdot 2^{2}\cdot 1^{2}=-3\cdot 4\cdot 1=-12.
Então o gradiente no ponto é
\nabla g(2,1)=(28,\,-12).

Passo 6

Normalizar o vetor direção \mathbf{v}=(1,3). Primeiro a norma:
\|\mathbf{v}\|=\sqrt{1^{2}+3^{2}}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}.
O vetor unitário correspondente é
\mathbf{u}=\frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|}=\left(\frac{1}{\sqrt{10}},\,\frac{3}{\sqrt{10}}\right).

Passo 7

Calcular a derivada direcional pelo produto escalar:
D_{\mathbf{u}}g(2,1)=\nabla g(2,1)\cdot\mathbf{u}=(28,\,-12)\cdot\left(\frac{1}{\sqrt{10}},\,\frac{3}{\sqrt{10}}\right).
Fazendo o produto escalar componente a componente:
D_{\mathbf{u}}g(2,1)=\frac{28\cdot 1 + (-12)\cdot 3}{\sqrt{10}}=\frac{28-36}{\sqrt{10}}=\frac{-8}{\sqrt{10}}.
Se preferir uma forma sem raiz no denominador, racionalizando:
\frac{-8}{\sqrt{10}}=-\frac{8\sqrt{10}}{10}=-\frac{4\sqrt{10}}{5}.

Resposta

-\dfrac{8}{\sqrt{10}} = -\dfrac{4\sqrt{10}}{5}

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