Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a derivada directional da função no ponto dado, na direção do vetor
.
Dados fornecidos:
Dados fornecidos:
ponto
e vetor direção
(ou seja,
).
A pergunta é: qual é o valor da derivada direcional de em
na direção de
?
A pergunta é: qual é o valor da derivada direcional de
Passo 2
O que é a derivada direcional? Vou explicar de forma simples e prática. A derivada direcional de uma função de duas variáveis
em um ponto
na direção de um vetor unitário
mede a taxa de variação de
quando nos movemos do ponto na direção de
. A definição por limite é
onde
é unitário. Importante: a direção deve ser dada por um vetor unitário — se você tem
qualquer, primeiro normaliza para
.
Passo 3
Regra prática muito usada em prova: se
é diferenciável (caso típico para polinômios), a derivada direcional pode ser obtida pelo produto escalar do gradiente com o vetor unitário:
Aqui
. Então precisamos:
- calcular as derivadas parciais
e ; - avaliar essas derivadas em
para obter ; - normalizar
para obter ; - calcular o produto escalar
.
Passo 4
Calcular as derivadas parciais. Vou explicar passo a passo as regras que usamos:
- Para
de usamos a regra da potência: . - Para
de tratamos como constante e usamos produto constante , então a derivada é .
Portanto
Agora
:
- O termo
não depende de , então deriva para . - Para
derivamos em : .
Logo
Passo 5
Avaliar as derivadas parciais no ponto
. Calcule com calma cada termo:
Para :
Para
Somando,
Para
:
Então o gradiente no ponto é
Passo 6
Normalizar o vetor direção
. Primeiro a norma:
O vetor unitário correspondente é
Passo 7
Calcular a derivada direcional pelo produto escalar:
Fazendo o produto escalar componente a componente:
Se preferir uma forma sem raiz no denominador, racionalizando: