Determine equações (a) do plano tangente e (b) da reta normal a uma superfície dada no ponto especificado.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas no ponto
para a superfície dada:
(a) a equação do plano tangente e
(b) a equação da reta normal.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: a superfície é definida implicitamente pela equação
(a) a equação do plano tangente e
(b) a equação da reta normal.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: a superfície é definida implicitamente pela equação
e o ponto de interesse é
.
Passo 2
Método escolhido (explicação didática e por que ele vale): como a superfície está dada implicitamente por uma equação envolvendo
, a maneira direta e padrão de achar o plano tangente é usar a função
que satisfaz
na superfície. A propriedade que usamos é:
- o vetor gradiente
é normal (perpendicular) à superfície no ponto ; - assim, a equação do plano tangente é dada por
A reta normal passa pelo ponto e tem direção igual ao vetor normal
. Essas duas ideias são padrão para superfícies implícitas e são rápidas de aplicar na prova.
Passo 3
Vamos construir
e calcular as derivadas parciais passo a passo. Definimos
Precisamos de
,
e
. Lembrete útil (cadeia): a derivada de
em relação a uma variável é
, onde
é a derivada de
. Aqui
, então ao derivar em relação a
ou
usamos a regra da cadeia.
Passo 4
Calculemos as derivadas parciais explicitamente:
- derivada em relação a
:
porque
aparece linearmente em
e os outros termos não dependem de
.
- derivada em relação a
: usar cadeia com ,
Assim
- derivada em relação a
: também por cadeia,
e lembrando o termo
em
,
Passo 5
Avalie as derivadas no ponto dado
. Primeiro calcule
no ponto:
Agora as parciais:
Portanto o vetor gradiente (vetor normal à superfície no ponto) é
Esse vetor é não-nulo, então o plano tangente existe e é bem definido.
Passo 6
Escrevemos a equação do plano tangente usando a fórmula
Substituindo
e
,
Desenvolvendo os termos constantes:
Essa é a equação do plano tangente na forma apropriada.
Passo 7
A reta normal tem direção dada por
e passa pelo ponto
. Logo a forma paramétrica da reta normal é
Forma simétrica (opcional) é
Passo 8
Cheque rápido (validação): substituindo
na equação do plano,
confirma que o ponto está no plano obtido — ótimo, resultado consistente.
Resposta
(a)
(b)
(b)