Determine equações (a) do plano tangente e (b) da reta normal a uma superfície dada no ponto especificado.
x-z=4 \operatorname{arctg}(y z), (1+\pi, 1,1)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas no ponto (1+\pi,1,1) para a superfície dada:
(a) a equação do plano tangente e
(b) a equação da reta normal.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: a superfície é definida implicitamente pela equação
x - z = 4\arctan(yz),
e o ponto de interesse é (x_0,y_0,z_0) = (1+\pi,\,1,\,1).

Passo 2

Método escolhido (explicação didática e por que ele vale): como a superfície está dada implicitamente por uma equação envolvendo x,y,z, a maneira direta e padrão de achar o plano tangente é usar a função
F(x,y,z)=x-z-4\arctan(yz),
que satisfaz \,F(x,y,z)=0 na superfície. A propriedade que usamos é:
  • o vetor gradiente \nabla F(x_0,y_0,z_0) é normal (perpendicular) à superfície no ponto (x_0,y_0,z_0);
  • assim, a equação do plano tangente é dada por
\nabla F(x_0,y_0,z_0)\cdot\bigl(x-x_0,\;y-y_0,\;z-z_0\bigr)=0.
A reta normal passa pelo ponto e tem direção igual ao vetor normal \nabla F(x_0,y_0,z_0). Essas duas ideias são padrão para superfícies implícitas e são rápidas de aplicar na prova.

Passo 3

Vamos construir F e calcular as derivadas parciais passo a passo. Definimos
F(x,y,z)=x-z-4\arctan(yz).
Precisamos de \dfrac{\partial F}{\partial x}, \dfrac{\partial F}{\partial y} e \dfrac{\partial F}{\partial z}. Lembrete útil (cadeia): a derivada de \arctan(u) em relação a uma variável é \dfrac{u'}{1+u^2}, onde u' é a derivada de u. Aqui u=yz, então ao derivar em relação a y ou z usamos a regra da cadeia.

Passo 4

Calculemos as derivadas parciais explicitamente:
  • derivada em relação a x:
\frac{\partial F}{\partial x}=1,
porque x aparece linearmente em F e os outros termos não dependem de x.
  • derivada em relação a y: usar cadeia com u=yz,
\frac{\partial}{\partial y}\arctan(yz)=\frac{\partial (yz)}{\partial y}\cdot\frac{1}{1+(yz)^2}=z\cdot\frac{1}{1+(yz)^2}.
Assim
\frac{\partial F}{\partial y}=-4\cdot\frac{z}{1+(yz)^2}.
  • derivada em relação a z: também por cadeia,
\frac{\partial}{\partial z}\arctan(yz)=\frac{\partial (yz)}{\partial z}\cdot\frac{1}{1+(yz)^2}=y\cdot\frac{1}{1+(yz)^2},
e lembrando o termo -z em F,
\frac{\partial F}{\partial z}=-1-4\cdot\frac{y}{1+(yz)^2}.

Passo 5

Avalie as derivadas no ponto dado (x_0,y_0,z_0)=(1+\pi,\,1,\,1). Primeiro calcule yz no ponto:
y_0z_0=1\cdot 1=1\quad\Rightarrow\quad 1+(y_0z_0)^2=1+1=2.
Agora as parciais:
\frac{\partial F}{\partial x}(x_0,y_0,z_0)=1,
\frac{\partial F}{\partial y}(x_0,y_0,z_0)=-4\cdot\frac{z_0}{2}=-4\cdot\frac{1}{2}=-2,
\frac{\partial F}{\partial z}(x_0,y_0,z_0)=-1-4\cdot\frac{y_0}{2}=-1-4\cdot\frac{1}{2}=-1-2=-3.
Portanto o vetor gradiente (vetor normal à superfície no ponto) é
\nabla F(x_0,y_0,z_0)=(1,\,-2,\,-3).
Esse vetor é não-nulo, então o plano tangente existe e é bem definido.

Passo 6

Escrevemos a equação do plano tangente usando a fórmula
\nabla F(x_0,y_0,z_0)\cdot\bigl(x-x_0,\;y-y_0,\;z-z_0\bigr)=0.
Substituindo \nabla F=(1,-2,-3) e (x_0,y_0,z_0)=(1+\pi,1,1),
1\cdot\bigl(x-(1+\pi)\bigr)+(-2)\cdot(y-1)+(-3)\cdot(z-1)=0.
Desenvolvendo os termos constantes:
x-(1+\pi)-2y+2-3z+3=0,
x-2y-3z +(-1-\pi+2+3)=0,
x-2y-3z+(4-\pi)=0.
Essa é a equação do plano tangente na forma apropriada.

Passo 7

A reta normal tem direção dada por \nabla F(x_0,y_0,z_0)=(1,-2,-3) e passa pelo ponto (1+\pi,1,1). Logo a forma paramétrica da reta normal é
x=1+\pi + t,\qquad y=1-2t,\qquad z=1-3t,\quad t\in\mathbb{R}.
Forma simétrica (opcional) é
\frac{x-(1+\pi)}{1}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z-1}{-3}.

Passo 8

Cheque rápido (validação): substituindo (x_0,y_0,z_0) na equação do plano,
(1+\pi)-2\cdot 1 -3\cdot 1 +4-\pi = 1+\pi -2 -3 +4 -\pi =0,
confirma que o ponto está no plano obtido — ótimo, resultado consistente.

Resposta

(a) x-2y-3z+4-\pi=0
(b) x=1+\pi+t,\;y=1-2t,\;z=1-3t,\;t\in\mathbb{R}

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