Determine a derivada direcional da função no ponto dado na direção do vetor v.
c) f(x, y)=x^4-x^2 y^3, P(2,1), v=(1,3)

Passo 1

A questão pede a derivada direcional de f(x,y)=x^4 - x^2 y^3 no ponto P=(2,1) na direção do vetor vec v=(1,3). Vamos usar o conceito de derivada direcional que diz que ela é o produto escalar do gradiente de f pela direção unitária desejada.

Passo 2

Para aplicar a fórmula D uf(P)=nabla f(P) cdot u, primeiro calculamos o gradiente de f. Ou seja, as derivadas parciais:
partial fpartial x=4x^3 - 2x y^3, partial fpartial y=-3x^2 y^2

Passo 3

Agora avaliamos essas derivadas no ponto P=(2,1). Substituindo:
partial fpartial x|(2,1)=4cdot2^3 - 2cdot2cdot1^3=32 - 4=28,
partial fpartial y|(2,1)=-3cdot2^2cdot1^2=-12
Logo, nabla f(2,1)=(28, -12).

Passo 4

Em seguida, precisamos do vetor unitário na direção de vec v=(1,3). Primeiro o comprimento:
|vec v|=raiz1^2+3^2=raiz10
Assim u=1raiz10(1,3).

Passo 5

Por fim, calculamos a derivada direcional como
D uf(2,1)=nabla f(2,1)cdot u=(28,-12)cdotl(tfrac1raiz10,tfrac3raiz10r) =28 -36raiz10= -8raiz10
Podemos racionalizar se quisermos:
-8raiz10=-8raiz1010=-4raiz105

Resposta

-\nobreakfrac{4\sqrt{10}}{5}

Exercícios relacionados