Determine por meio da definição se as seguintes funções são ou não linearmente independentes.
© f(x), g(x)=x, e^x

Passo 1

O enunciado pede para verificar, pela definição, se as funções f(x)=x e g(x)=e^{x} são linearmente independentes. O conteúdo aqui é independência linear de funções, e vamos precisar usar a definição que diz que c_{1}f(x)+c_{2}g(x)=0 para todo x implica c_{1}=c_{2}=0.

Passo 2

Escrevemos a combinação linear geral igual a zero:
c1,x + c2,e^x = 0 para todo x

Passo 3

Para encontrar c_{2}, avaliamos a combinação em x=0. Isso dá:
c1cdot 0 + c2,e^0 = 0 implies c2cdot 1 = 0 implies c2=0

Passo 4

Com c_{2}=0, a combinação fica c_{1}x=0 para todo x. Para isso ocorrer, necessariamente c_{1}=0.

Passo 5

Portanto, a única solução da combinação linear é c_{1}=c_{2}=0, logo as funções são linearmente independentes.

Resposta

As funções são linearmente independentes.

Exercícios relacionados