Determine por meio da definição se as seguintes funções são ou não linearmente independentes.
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Passo 1
O enunciado pede para verificar, pela definição, se as funções f(x)=x e g(x)=e^{x} são linearmente independentes. O conteúdo aqui é independência linear de funções, e vamos precisar usar a definição que diz que c_{1}f(x)+c_{2}g(x)=0 para todo x implica c_{1}=c_{2}=0.
Passo 2
Escrevemos a combinação linear geral igual a zero:
Passo 3
Para encontrar c_{2}, avaliamos a combinação em x=0. Isso dá:
Passo 4
Com c_{2}=0, a combinação fica c_{1}x=0 para todo x. Para isso ocorrer, necessariamente c_{1}=0.
Passo 5
Portanto, a única solução da combinação linear é c_{1}=c_{2}=0, logo as funções são linearmente independentes.
Resposta
As funções são linearmente independentes.