Determine por meio do Wronskiano se as seguintes funções são ou não linearmente independentes.
(a) e^a x, e^b x, com b neq a, b, a in R

Passo 1

No enunciado temos as funções f1(x)=e^ax e f2(x)=e^bx com aneq b. O conteúdo é independência linear de funções usando o Wronskiano, e vamos precisar calcular derivadas e montar o determinante definido para duas funções.

Passo 2

Lembrando do conceito de Wronskiano para duas funções f1, f2:
W(f1,f2)(x)=f1(x) & f2(x)f1'(x) & f2'(x)
Se W(f1,f2)(x)neq 0 em um intervalo, então f1 e f2 são linearmente independentes.

Passo 3

Agora calculamos as derivadas:
f1'(x)=ddxe^ax=a,e^ax, f2'(x)=ddxe^bx=b,e^bx

Passo 4

Substituímos no Wronskiano:
W(x)=e^ax & e^bxa,e^ax & b,e^bx =e^axcdot b,e^bx-e^bxcdot a,e^ax =(b-a)e^(a+b)x

Passo 5

Como bneq a, o fator (b-a) é não nulo e e^(a+b)x nunca é zero. Logo W(x)neq 0 para todo x, garantindo que e^ax e e^bx são linearmente independentes.

Resposta

As funções são linearmente independentes, pois o Wronskiano (b-a)e^(a+b)x é não nulo.

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