Determine por meio do Wronskiano se as seguintes funções são ou não linearmente independentes.
(b) e^a x, x e^a x, com a in R

Passo 1

Estamos testando se as funções f₁(x)=e^{ax} e f₂(x)=x e^{ax} são linearmente independentes via Wronskiano; o conteúdo aqui é o cálculo do Wronskiano e derivadas das funções.

Passo 2

A definição do Wronskiano W(f₁,f₂)(x) é o determinante das funções e suas derivadas:
[ W(x) = f1(x) & f2(x) f1'(x) & f2'(x) ]
Calculamos as derivadas usando regra do produto:
[ f_1(x)=e^{ax} \implies f_1’(x)=a e^{ax}, ]
[ f_2(x)=x e^{ax} \implies f_2’(x)=e^{ax}+ax e{ax}=(1+ax)e{ax}. ]

Passo 3

Substituindo no determinante temos:
[ W(x) = e^ax & x e^ax a e^ax & (1+ax)e^ax = e{ax}(1+ax)e{ax} - x e^{ax} \cdot a e^{ax}. ]
Fazendo as contas:
[ W(x) = e^{2ax}(1+ax - ax) = e^{2ax}. ]

Passo 4

Como para todo real a e x temos e^{2ax}≠0, o Wronskiano nunca zera, garantindo independência linear.

Resposta

As funções são linearmente independentes, pois o Wronskiano é e^{2ax}≠0.

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