Determine a derivada direcional de função no ponto dado e na direção do vetor v.
f(x, y)=x^{4}-x^{2} y^{3},(2,1), \mathbf{v}=(-1,2).

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de
f(x,y)=x^{4}-x^{2}y^{3}
no ponto (2,1) na direção do vetor \mathbf{v}=(-1,2).
Para isso, vamos usar que a derivada direcional de f em (x_{0},y_{0}) na direção de um vetor unitário \mathbf{u} é
D_{\mathbf{u}}f(x_{0},y_{0})=\nabla f(x_{0},y_{0})\cdot\mathbf{u}.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
a) Derivada parcial em relação a x:
f_{x}(x,y) =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{4}-x^{2}y^{3}\bigr) =4x^{3}-2x\,y^{3}.
b) Derivada parcial em relação a y:
f_{y}(x,y) =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{4}-x^{2}y^{3}\bigr) =-3x^{2}y^{2}.

Passo 3

Avaliaremos o gradiente em (2,1):
\nabla f(2,1) =\bigl(f_{x}(2,1),\,f_{y}(2,1)\bigr) =\bigl(4\cdot2^{3}-2\cdot2\cdot1^{3},\,-3\cdot2^{2}\cdot1^{2}\bigr) =(32-4,\,-12) =(28,\,-12).

Passo 4

Precisamos do vetor unitário \mathbf{u} na direção de \mathbf{v}=(-1,2).
O módulo de \mathbf{v} é
\|\mathbf{v}\| =\sqrt{(-1)^{2}+2^{2}} =\sqrt{1+4} =\sqrt{5},
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\mathbf{u} =\frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|} =\Bigl(-\frac{1}{\sqrt{5}},\;\frac{2}{\sqrt{5}}\Bigr).

Passo 5

Agora a derivada direcional é o produto escalar
D_{\mathbf{u}}f(2,1) =\nabla f(2,1)\cdot\mathbf{u} =(28,\,-12)\cdot\Bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{5}},\;\tfrac{2}{\sqrt{5}}\Bigr) =\frac{1}{\sqrt{5}}\bigl(28\cdot(-1)+(-12)\cdot2\bigr) =\frac{-28-24}{\sqrt{5}} =-\frac{52}{\sqrt{5}}.
Podemos racionalizar para
-\frac{52}{\sqrt{5}} =-\frac{52\sqrt{5}}{5}.

Resposta

A derivada direcional de f em (2,1) na direção de \mathbf{v}=(-1,2) é
-\frac{52}{\sqrt{5}} \quad\bigl(=-\tfrac{52\sqrt{5}}{5}\bigr).

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