Use a regra da cadeira para determinar d z / d t ou d w / d t :
z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, x=e^{t}, y=e^{-2 t}

Passo 1

O enunciado define a função
z = \sqrt{x^{2} + y^{2}}
com x e y dependendo de t via
x = e^{t},\quad y = e^{-2t}.
Queremos \tfrac{dz}{dt} usando a regra da cadeia, ou seja, expressar \tfrac{dz}{dt} em função de \tfrac{\partial z}{\partial x}, \tfrac{\partial z}{\partial y}, \tfrac{dx}{dt} e \tfrac{dy}{dt}.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de z em relação a x e y. Como
z = (x^{2}+y^{2})^{\tfrac12},
ao derivar em relação a x (tratando y como constante) temos
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac12\,(x^{2}+y^{2})^{-\tfrac12}\cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
De modo análogo,
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.

Passo 3

Agora derivamos x e y em relação a t:
\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(e^{t}) = e^{t}, \qquad \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(e^{-2t}) = -2\,e^{-2t}.

Passo 4

Aplicar a regra da cadeia:
\frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial x}\,\frac{dx}{dt} + \frac{\partial z}{\partial y}\,\frac{dy}{dt}.

Passo 5

Substituindo as derivadas parciais e as derivadas de x,y:
\frac{dz}{dt} = \frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\,e^{t} + \frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\,(-2e^{-2t}) = \frac{x\,e^{t} - 2\,y\,e^{-2t}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
Como x=e^{t} e y=e^{-2t}, o numerador fica
e^{t}\cdot e^{t} - 2\,e^{-2t}\cdot e^{-2t} = e^{2t} - 2\,e^{-4t},
e o denominador
\sqrt{x^{2}+y^{2}} = \sqrt{e^{2t} + e^{-4t}}.

Resposta

\frac{dz}{dt} = \frac{e^{2t} - 2\,e^{-4t}}{\sqrt{e^{2t} + e^{-4t}}}.

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