∑_{n=1}^{∞}\left(\frac{2 n+1}{3 n+2}\right)^{n} CONVERGE?

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{2n+1}{3n+2}\Bigr)^{n}.
O conteúdo que vamos usar é o teste da raiz (root test), que diz: para a_n, calcule
L = \lim_{n\to\infty} \bigl|a_n\bigr|^{1/n}.
Se L<1, a série converge absolutamente; se L>1, diverge; se L=1, o teste é inconclusivo.

Passo 2

Identificamos a_n = \bigl((2n+1)/(3n+2)\bigr)^{n}. Então
\bigl|a_n\bigr|^{1/n} = \left|\Bigl(\frac{2n+1}{3n+2}\Bigr)^{n}\right|^{1/n} = \frac{2n+1}{3n+2}.

Passo 3

Calculamos o limite da razão acima quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{3n+2} = \lim_{n\to\infty}\frac{2 + \tfrac1n}{3 + \tfrac2n} = \frac{2}{3}.
Como \tfrac{2}{3}<1, pelo teste da raiz a série converge absolutamente.

Resposta

A série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\bigl(\tfrac{2n+1}{3n+2}\bigr)^{n} converge (absolutamente) pelo teste da raiz.

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