∑_{n=1}^{∞} \frac{3 n}{n!} CONVERGE?

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3\,n}{n!}
Esse tema envolve séries numéricas e testes de convergência, em especial o Teste da Razão, e também o reconhecimento de séries que geram a função exponencial.

Passo 2

Aplicamos o Teste da Razão em
a_n = \frac{3\,n}{n!}.
Calculamos
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\displaystyle\frac{3\,(n+1)}{(n+1)!}}{\displaystyle\frac{3\,n}{n!}} = \frac{n+1}{(n+1)!}\,\frac{n!}{n} = \frac{1}{n}.
Como
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n} = 0 < 1,
a série converge absolutamente.

Passo 3

Para encontrar o valor da soma, note que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3\,n}{n!} = 3 \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n!}.
Como o termo n=0 de \sum_{n=0}^\infty \frac{n}{n!} vale zero, podemos estender o índice a zero. Sabemos que
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}=e^x
e, diferenciando em relação a x,
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n\,x^{n-1}}{n!} = e^x \quad\Longrightarrow\quad \sum_{n=0}^{\infty}\frac{n\,x^n}{n!} = x\,e^x.
Tomando x=1, obtemos
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{n}{n!} = e.

Passo 4

Portanto
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3\,n}{n!} = 3\cdot e.

Resposta

A série converge e
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3\,n}{n!}=3e.

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