Use o método de variação dos parâmetros para resolver o sistema.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais usando o método de variação dos parâmetros. A gente vai lidar com um sistema de equações lineares do tipo:
Para resolver isso, vamos precisar entender de equações diferenciais lineares, encontrar soluções homogêneas e particulares, e aplicar a variação dos parâmetros para achar a solução completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea do sistema, ou seja, ignorar o termo não homogêneo
. Isso nos dá:
Podemos escrever esse sistema em forma matricial:
, onde
Passo 3
Para encontrar a solução homogênea, precisamos achar os valores próprios (autovalores) de
. Isso se faz resolvendo o determinante:
Calculando:
Então, os autovalores são
.
Passo 4
Com autovalores imaginários puros, a solução homogênea terá componentes de senos e cossenos. A solução geral homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular para o sistema completo usando o método de variação dos parâmetros. Considerando o termo não homogêneo
, assumimos uma solução particular da forma:
Derivando e substituindo na equação original, estabelecemos um sistema para
e
. Após resolver esse sistema, encontramos:
Portanto, a solução particular é:
Resposta
A solução geral do sistema é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais do problema.