Use o método de variação dos parâmetros para resolver o sistema.
d/dt x = 2x - y, d/dt y = 3x - 2y + 4t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais usando o método de variação dos parâmetros. A gente vai lidar com um sistema de equações lineares do tipo:
Para resolver isso, vamos precisar entender de equações diferenciais lineares, encontrar soluções homogêneas e particulares, e aplicar a variação dos parâmetros para achar a solução completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea do sistema, ou seja, ignorar o termo não homogêneo . Isso nos dá:
Podemos escrever esse sistema em forma matricial: , onde

Passo 3

Para encontrar a solução homogênea, precisamos achar os valores próprios (autovalores) de . Isso se faz resolvendo o determinante:
Calculando:
Então, os autovalores são .

Passo 4

Com autovalores imaginários puros, a solução homogênea terá componentes de senos e cossenos. A solução geral homogênea é:
Aqui, e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular para o sistema completo usando o método de variação dos parâmetros. Considerando o termo não homogêneo , assumimos uma solução particular da forma:
Derivando e substituindo na equação original, estabelecemos um sistema para e . Após resolver esse sistema, encontramos:
Portanto, a solução particular é:

Resposta

A solução geral do sistema é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais do problema.

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