Sendo f, g e h as funções definidas abaixo, calcule
f(x, y)=x^{3}-4 x^{2} y+y^{2}, \quad g(x, y)=e^{x} \operatorname{sen} y \quad \text { e } \quad h(x, y, z)=x y^{2} z^{3}
a) \nabla f, \nabla g e \nabla h
b) \nabla f(0,-1), \nabla g(1, \pi / 4) e \nabla h(1,-2,1)
c) a taxa de variação de f em (0,-1), na direção de \vec{v}=(3 / 5,4 / 5)
d) a taxa de variação de g em ( 1, \pi / 4 ), na direção de \vec{v}=(-1 / \sqrt{5}, 2 / \sqrt{5})
e ) a taxa de variação de h em (1,-2,1), na direção de \vec{v}=(1 / \sqrt{3},-1 / \sqrt{3}, 1 / \sqrt{3})

Passo 1

O enunciado dá três funções e pede várias coisas. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido:
Dados:
f(x,y)=x^{3}-4x^{2}y+y^{2},
g(x,y)=e^{x}\sin y,
h(x,y,z)=x\,y^{2}z^{3}.
Perguntas:
a) Calcular \nabla f,\\ \nabla g e \nabla h (os gradientes).
b) Avaliar os gradientes em pontos específicos: \nabla f(0,-1),\\ \nabla g(1,\pi/4) e \nabla h(1,-2,1).
c) Calcular a taxa de variação de f em (0,-1) na direção de \vec{v}=(3/5,4/5).
d) Calcular a taxa de variação de g em (1,\pi/4) na direção de \vec{v}=(-1/\sqrt{5},2/\sqrt{5}).
e) Calcular a taxa de variação de h em (1,-2,1) na direção de \vec{v}=(1/\sqrt{3},-1/\sqrt{3},1/\sqrt{3}).

Passo 2

Conceitos úteis (explicação passo a passo antes de calcular):
  • Derivada parcial: para \partial/\partial x tratamos y (e z, se houver) como constantes e derivamos em relação a x. Para \partial/\partial y tratamos x como constante, etc. Usamos regras padrão: potência \frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}, e para e^{x} temos \frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}; seno e cosseno têm \frac{d}{dy}\sin y=\cos y.
  • Gradiente: para uma função de duas variáveis F(x,y),
\nabla F(x,y)=\left(\frac{\partial F}{\partial x},\frac{\partial F}{\partial y}\right).
Para função de três variáveis H(x,y,z),
\nabla H(x,y,z)=\left(\frac{\partial H}{\partial x},\frac{\partial H}{\partial y},\frac{\partial H}{\partial z}\right).
  • Taxa de variação na direção de um vetor unitário \vec{u}: é o derivada direcional
D_{\vec{u}}F(\text{ponto})=\nabla F(\text{ponto})\cdot\vec{u},
ou seja, o produto escalar entre gradiente e vetor unitário. Sempre precisamos de \vec{u} unitário; se o vetor dado não for unitário devemos normalizá-lo dividindo pela sua norma.
Agora que temos as regras, vamos calcular os gradientes.

Passo 3

Calcular \nabla f.
Começamos pelas derivadas parciais de f(x,y)=x^{3}-4x^{2}y+y^{2}.
  • Para \frac{\partial f}{\partial x}: derivamos termo a termo em relação a x, tratando y como constante.
    • \frac{\partial}{\partial x}x^{3}=3x^{2}.
    • \frac{\partial}{\partial x}(-4x^{2}y)=-4\cdot 2x\cdot y=-8xy (porque y é constante).
    • \frac{\partial}{\partial x}y^{2}=0.
      Portanto
    \frac{\partial f}{\partial x}=3x^{2}-8xy.
  • Para \frac{\partial f}{\partial y}: derivamos em relação a y, tratando x como constante.
    • \frac{\partial}{\partial y}x^{3}=0.
    • \frac{\partial}{\partial y}(-4x^{2}y)=-4x^{2}.
    • \frac{\partial}{\partial y}y^{2}=2y.
      Portanto
    \frac{\partial f}{\partial y}=-4x^{2}+2y.
Logo o gradiente:
\nabla f(x,y)=\bigl(3x^{2}-8xy,\;-4x^{2}+2y\bigr).

Passo 4

Calcular \nabla g.
Temos g(x,y)=e^{x}\sin y.
  • \frac{\partial g}{\partial x}: tratamos y como constante. A derivada de e^{x} é e^{x}, então
    \frac{\partial g}{\partial x}=e^{x}\sin y.
    (Não precisamos aplicar regra do produto porque \sin y é constante quando derivamos em x; é simplesmente multiplicado por e^x.)
  • \frac{\partial g}{\partial y}: tratamos x como constante, então e^{x} é constante multiplicativa e
    \frac{\partial g}{\partial y}=e^{x}\cos y.
Portanto
\nabla g(x,y)=\bigl(e^{x}\sin y,\;e^{x}\cos y\bigr).

Passo 5

Calcular \nabla h.
Temos h(x,y,z)=x\,y^{2}z^{3}.
Derivadas parciais (cada vez que derivamos em relação a uma variável, tratamos as outras como constantes):
  • \frac{\partial h}{\partial x}: como h=x\cdot(y^{2}z^{3}) e y^{2}z^{3} é constante em relação a x,
    \frac{\partial h}{\partial x}=y^{2}z^{3}.
  • \frac{\partial h}{\partial y}: aqui usar a regra de potência para y^{2}, com x z^{3} constante:
    \frac{\partial h}{\partial y}=x\cdot 2y\cdot z^{3}=2xyz^{3}.
  • \frac{\partial h}{\partial z}: regra de potência para z^{3}, com x y^{2} constante:
    \frac{\partial h}{\partial z}=x y^{2}\cdot 3z^{2}=3x y^{2} z^{2}.
Logo
\nabla h(x,y,z)=\bigl(y^{2}z^{3},\;2xyz^{3},\;3xy^{2}z^{2}\bigr).

Passo 6

Avaliar \nabla f(0,-1).
Usamos a expressão obtida:
\nabla f(x,y)=\bigl(3x^{2}-8xy,\;-4x^{2}+2y\bigr).
Substituindo x=0 e y=-1:
  • Primeira componente: 3\cdot 0^{2}-8\cdot 0\cdot(-1)=0.
  • Segunda componente: -4\cdot 0^{2}+2\cdot(-1)= -2.
Portanto
\nabla f(0,-1)=(0,\;-2).

Passo 7

Avaliar \nabla g(1,\pi/4).
Usamos
\nabla g(x,y)=\bigl(e^{x}\sin y,\;e^{x}\cos y\bigr).
Substituindo x=1 e y=\pi/4, lembrando que \sin(\pi/4)=\cos(\pi/4)=\tfrac{\sqrt{2}}{2}:
  • Primeira componente: e^{1}\sin(\pi/4)=e\cdot \tfrac{\sqrt{2}}{2}.
  • Segunda componente: e^{1}\cos(\pi/4)=e\cdot \tfrac{\sqrt{2}}{2}.
Assim
\nabla g(1,\pi/4)=\left(\frac{e\sqrt{2}}{2},\;\frac{e\sqrt{2}}{2}\right).

Passo 8

Avaliar \nabla h(1,-2,1).
Usamos
\nabla h(x,y,z)=\bigl(y^{2}z^{3},\;2xyz^{3},\;3xy^{2}z^{2}\bigr).
Substituindo x=1,\\ y=-2,\\ z=1:
  • Primeira componente: y^{2}z^{3}=(-2)^{2}\cdot 1^{3}=4.
  • Segunda componente: 2xyz^{3}=2\cdot 1\cdot(-2)\cdot 1^{3}=-4.
  • Terceira componente: 3xy^{2}z^{2}=3\cdot 1\cdot (-2)^{2}\cdot 1^{2}=3\cdot 4=12.
Portanto
\quad\nabla h(1,-2,1)=(4,\;-4,\;12).

Passo 9

Explicar e preparar para calcular as taxas de variação (derivadas direcionais).
  • Fórmula: se \vec{u} é um vetor unitário, então a taxa de variação de F em um ponto na direção de \vec{u} é D_{\vec{u}}F=\nabla F\cdot\vec{u}.
  • Produto escalar em \mathbb{R}^{2}: (a,b)\cdot(c,d)=ac+bd.
  • Produto escalar em \mathbb{R}^{3}: (a,b,c)\cdot(d,e,f)=ad+be+cf.
  • Verificamos se os vetores dados já são unitários; aqui:
    • Para (c) \vec{v}=(3/5,4/5): norma \sqrt{(3/5)^{2}+(4/5)^{2}}=\sqrt{9/25+16/25}=\sqrt{25/25}=1. Já é unitário.
    • Para (d) \vec{v}=(-1/\sqrt{5},2/\sqrt{5}): norma \sqrt{1/5+4/5}=1. Já é unitário.
    • Para (e) \vec{v}=(1/\sqrt{3},-1/\sqrt{3},1/\sqrt{3}): norma \sqrt{1/3+1/3+1/3}=1. Já é unitário.
Agora calculamos cada produto escalar.

Passo 10

Calcular a taxa de variação de f em (0,-1) na direção \vec{v}=(3/5,4/5).
Usamos \nabla f(0,-1)=(0,-2) (Passo 6). Produto escalar:
D_{\vec{v}}f(0,-1)=\nabla f(0,-1)\cdot\vec{v}=(0,\,-2)\cdot\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right)=0\cdot\frac{3}{5}+(-2)\cdot\frac{4}{5}=-\frac{8}{5}.

Passo 11

Calcular a taxa de variação de g em (1,\pi/4) na direção \vec{v}=(-1/\sqrt{5},2/\sqrt{5}).
Usamos \nabla g(1,\pi/4)=\left(\dfrac{e\sqrt{2}}{2},\;\dfrac{e\sqrt{2}}{2}\right) (Passo 7). Produto escalar:
D_{\vec{v}}g(1,\pi/4)=\left(\frac{e\sqrt{2}}{2},\frac{e\sqrt{2}}{2}\right)\cdot\left(-\frac{1}{\sqrt{5}},\frac{2}{\sqrt{5}}\right).
Compute componente a componente:
=\frac{e\sqrt{2}}{2}\left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)+\frac{e\sqrt{2}}{2}\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right) =\frac{e\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{-1+2}{\sqrt{5}} =\frac{e\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{5}} =\frac{e\sqrt{2}}{2\sqrt{5}}.
Podemos também escrever isso como
\frac{e}{2}\sqrt{\frac{2}{5}}.

Passo 12

Calcular a taxa de variação de h em (1,-2,1) na direção \vec{v}=(1/\sqrt{3},-1/\sqrt{3},1/\sqrt{3}).
Usamos \nabla h(1,-2,1)=(4,-4,12) (Passo 8). Produto escalar:
D_{\vec{v}}h(1,-2,1)=(4,-4,12)\cdot\left(\frac{1}{\sqrt{3}},-\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}}\right) =\frac{1}{\sqrt{3}}\,(4+4+12)=\frac{20}{\sqrt{3}}.
Opcionalmente racionalizando: \dfrac{20\sqrt{3}}{3}.

Resposta

a) \nabla f(x,y)=\bigl(3x^{2}-8xy,\;-4x^{2}+2y\bigr), \nabla g(x,y)=\bigl(e^{x}\sin y,\;e^{x}\cos y\bigr), \nabla h(x,y,z)=\bigl(y^{2}z^{3},\;2xyz^{3},\;3xy^{2}z^{2}\bigr)
b) \nabla f(0,-1)=(0,\;-2)
\nabla g(1,\pi/4)=\left(\dfrac{e\sqrt{2}}{2},\;\dfrac{e\sqrt{2}}{2}\right)
\nabla h(1,-2,1)=(4,\;-4,\;12)
c) D_{\vec{v}}f(0,-1)=-\dfrac{8}{5}
d) D_{\vec{v}}g(1,\pi/4)=\dfrac{e\sqrt{2}}{2\sqrt{5}}=\dfrac{e}{2}\sqrt{\dfrac{2}{5}}
e) D_{\vec{v}}h(1,-2,1)=\dfrac{20}{\sqrt{3}}=\dfrac{20\sqrt{3}}{3}

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