Sendo
e
as funções definidas abaixo, calcule
a)
e
b)
e
c) a taxa de variação de
em
, na direção de
d) a taxa de variação de
em (
), na direção de
) a taxa de variação de
em
, na direção de
b)
c) a taxa de variação de
d) a taxa de variação de
Passo 1
O enunciado dá três funções e pede várias coisas. Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido:
Dados:
Perguntas:
a) Calcular e
(os gradientes).
b) Avaliar os gradientes em pontos específicos: e
.
c) Calcular a taxa de variação de em
na direção de
.
d) Calcular a taxa de variação de em
na direção de
.
e) Calcular a taxa de variação de em
na direção de
.
a) Calcular
b) Avaliar os gradientes em pontos específicos:
c) Calcular a taxa de variação de
d) Calcular a taxa de variação de
e) Calcular a taxa de variação de
Passo 2
Conceitos úteis (explicação passo a passo antes de calcular):
- Derivada parcial: para
tratamos (e , se houver) como constantes e derivamos em relação a . Para tratamos como constante, etc. Usamos regras padrão: potência , e para temos ; seno e cosseno têm . - Gradiente: para uma função de duas variáveis
,
Para função de três variáveis
,
- Taxa de variação na direção de um vetor unitário
: é o derivada direcional
ou seja, o produto escalar entre gradiente e vetor unitário. Sempre precisamos de
unitário; se o vetor dado não for unitário devemos normalizá-lo dividindo pela sua norma.
Agora que temos as regras, vamos calcular os gradientes.
Passo 3
Calcular
.
Começamos pelas derivadas parciais de
.
-
Para
: derivamos termo a termo em relação a , tratando como constante. -
. -
(porque é constante). -
.
Portanto
-
-
Para
: derivamos em relação a , tratando como constante. -
. -
. -
.
Portanto
-
Logo o gradiente:
Passo 4
Calcular
.
Temos
.
-
: tratamos como constante. A derivada de é , então (Não precisamos aplicar regra do produto porqueé constante quando derivamos em ; é simplesmente multiplicado por .) -
: tratamos como constante, então é constante multiplicativa e
Portanto
Passo 5
Calcular
.
Temos
.
Derivadas parciais (cada vez que derivamos em relação a uma variável, tratamos as outras como constantes):
-
: como e é constante em relação a , -
: aqui usar a regra de potência para , com constante: -
: regra de potência para , com constante:
Logo
Passo 6
Avaliar
.
Usamos a expressão obtida:
Substituindo
e
:
- Primeira componente:
- Segunda componente:
Portanto
Passo 7
Avaliar
.
Usamos
Substituindo
e
, lembrando que
:
- Primeira componente:
- Segunda componente:
Assim
Passo 8
Avaliar
.
Usamos
Substituindo
:
- Primeira componente:
- Segunda componente:
- Terceira componente:
Portanto
Passo 9
Explicar e preparar para calcular as taxas de variação (derivadas direcionais).
- Fórmula: se
é um vetor unitário, então a taxa de variação de em um ponto na direção de é - Produto escalar em
: . - Produto escalar em
: . - Verificamos se os vetores dados já são unitários; aqui:
- Para (c)
: norma . Já é unitário. - Para (d)
: norma . Já é unitário. - Para (e)
: norma . Já é unitário.
- Para (c)
Agora calculamos cada produto escalar.
Passo 10
Calcular a taxa de variação de
em
na direção
.
Usamos
(Passo 6). Produto escalar:
Passo 11
Calcular a taxa de variação de
em
na direção
.
Usamos
(Passo 7). Produto escalar:
Compute componente a componente:
Podemos também escrever isso como
Passo 12
Calcular a taxa de variação de
em
na direção
.
Usamos
(Passo 8). Produto escalar:
Opcionalmente racionalizando:
.
Resposta
a)
,
,
b)
c)
d)
e)