Calcule:
e
quando
e
, onde
e
.
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule as derivadas parciais
,
e
no ponto
.
As informações dadas são:
As informações dadas são:
Portanto,
é uma função de
e
são funções de
. Quero as derivadas parciais de
em relação a cada uma das variáveis
avaliadas em
,
,
.
Passo 2
Conceito que vou usar (explicação didática): quando
é função de
e
dependem de
, usamos a regra da cadeia para funções de várias variáveis. A regra da cadeia diz que, por exemplo,
Aqui
é a derivada parcial de
em relação a
mantendo
fixo;
é a derivada parcial de
em relação a
mantendo
fixos; e análogos para as outras combinações. O mesmo vale para
e
:
onde usei a notação
e
.
Passo 3
Calcular
e
(derivadas parciais de
) e explicar:
- Para
: trato como constante e derivo . A derivada de em relação a é , que também pode ser escrita como . Assim,
- Para
: trato como constante e derivo . A derivada de em relação a é . Então
Pequeno lembrete prático:
. Por exemplo, em
temos
e
.
Passo 4
Calcular as derivadas parciais de
e
em relação a
, explicando cada derivação:
- Derivadas de
:
Aqui, ao derivar em relação a uma variável, as outras são tratadas como constantes.
- Derivadas de
:
Passo 5
Agora vou avaliar
e
em
porque preciso desses valores ao avaliar
e
:
Portanto, no ponto pedido temos
.
Passo 6
Avaliar
e
no ponto
(mostrando os cálculos):
pois
(já que
).
Passo 7
Avaliar as derivadas de
e
(de Passo 4) em
:
- Das derivadas de
:
- Das derivadas de
:
Passo 8
Formar as expressões (usando a regra da cadeia) para as derivadas pedidas em termos dos componentes já avaliados; vou escrever as fórmulas gerais e depois inserir os valores numéricos dos componentes (mas deixo a soma final para a seção de resposta):
Agora substituo os valores que calculei nos passos anteriores:
,
, e os valores de
em
do Passo 7.