Calcule:
\frac{\partial h}{\partial \mathrm{t}}, \frac{\partial h}{\partial u} e \frac{\partial h}{\partial v} quando t=2, u=1 e v=0, onde h(x, y)=y^{2} \operatorname{tg} x, x=t^{2} u v e y=u+t v^{2}.

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule as derivadas parciais \frac{\partial h}{\partial t}, \frac{\partial h}{\partial u} e \frac{\partial h}{\partial v} no ponto (t,u,v)=(2,1,0).
As informações dadas são:
h(x,y)=y^{2}\tan x,
x(t,u,v)=t^{2} u v,
y(t,u,v)=u+t v^{2}.
Portanto, h é uma função de (x,y) e x,y são funções de (t,u,v). Quero as derivadas parciais de h em relação a cada uma das variáveis t,u,v avaliadas em t=2, u=1, v=0.

Passo 2

Conceito que vou usar (explicação didática): quando h é função de (x,y) e x,y dependem de (t,u,v), usamos a regra da cadeia para funções de várias variáveis. A regra da cadeia diz que, por exemplo,
\frac{\partial h}{\partial t}= \frac{\partial h}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t} + \frac{\partial h}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}.
Aqui \frac{\partial h}{\partial x} é a derivada parcial de h em relação a x mantendo y fixo; \frac{\partial x}{\partial t} é a derivada parcial de x em relação a t mantendo u,v fixos; e análogos para as outras combinações. O mesmo vale para \frac{\partial h}{\partial u} e \frac{\partial h}{\partial v}:
\frac{\partial h}{\partial u}= h_x\,x_u + h_y\,y_u,\qquad \frac{\partial h}{\partial v}= h_x\,x_v + h_y\,y_v,
onde usei a notação h_x=\frac{\partial h}{\partial x} e h_y=\frac{\partial h}{\partial y}.

Passo 3

Calcular h_x e h_y (derivadas parciais de h(x,y)=y^2\tan x) e explicar:
  • Para h_x: trato y como constante e derivo \tan x. A derivada de \tan x em relação a x é \operatorname{sec}^{2}x, que também pode ser escrita como \dfrac{1}{\cos^{2}x}. Assim,
h_x(x,y)=y^{2}\cdot \operatorname{sec}^{2}x.
  • Para h_y: trato x como constante e derivo y^2. A derivada de y^2 em relação a y é 2y. Então
h_y(x,y)=2y\cdot \tan x.
Pequeno lembrete prático: \operatorname{sec}^{2}x=\dfrac{1}{\cos^{2}x}. Por exemplo, em x=0 temos \tan 0=0 e \operatorname{sec}^2 0=1.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais de x(t,u,v)=t^{2} u v e y(t,u,v)=u+t v^{2} em relação a t,u,v, explicando cada derivação:
  • Derivadas de x:
x_t=\frac{\partial}{\partial t}(t^{2} u v)=2t\,u\,v,
x_u=\frac{\partial}{\partial u}(t^{2} u v)=t^{2} v,
x_v=\frac{\partial}{\partial v}(t^{2} u v)=t^{2} u.
Aqui, ao derivar em relação a uma variável, as outras são tratadas como constantes.
  • Derivadas de y:
y_t=\frac{\partial}{\partial t}(u+t v^{2})=v^{2},
y_u=\frac{\partial}{\partial u}(u+t v^{2})=1,
y_v=\frac{\partial}{\partial v}(u+t v^{2})=2t v.

Passo 5

Agora vou avaliar x e y em (t,u,v)=(2,1,0) porque preciso desses valores ao avaliar h_x e h_y:
x(2,1,0)=2^{2}\cdot 1\cdot 0 = 0,
y(2,1,0)=1 + 2\cdot 0^{2} = 1.
Portanto, no ponto pedido temos (x,y)=(0,1).

Passo 6

Avaliar h_x e h_y no ponto (x,y)=(0,1) (mostrando os cálculos):
h_x(0,1)=1^{2}\cdot \operatorname{sec}^{2}0 = 1\cdot 1 = 1,
pois \operatorname{sec}^{2}0=1 (já que \cos 0=1).
h_y(0,1)=2\cdot 1\cdot \tan 0 = 2\cdot 0 = 0.

Passo 7

Avaliar as derivadas de x e y (de Passo 4) em (t,u,v)=(2,1,0):
  • Das derivadas de x:
x_t(2,1,0)=2\cdot 2\cdot 1\cdot 0 = 0,
x_u(2,1,0)=2^{2}\cdot 0 = 0,
x_v(2,1,0)=2^{2}\cdot 1 = 4.
  • Das derivadas de y:
y_t(2,1,0)=0^{2}=0,
y_u(2,1,0)=1,
y_v(2,1,0)=2\cdot 2\cdot 0 = 0.

Passo 8

Formar as expressões (usando a regra da cadeia) para as derivadas pedidas em termos dos componentes já avaliados; vou escrever as fórmulas gerais e depois inserir os valores numéricos dos componentes (mas deixo a soma final para a seção de resposta):
\frac{\partial h}{\partial t}=h_x(x,y)\,x_t(t,u,v) + h_y(x,y)\,y_t(t,u,v),
\frac{\partial h}{\partial u}=h_x(x,y)\,x_u(t,u,v) + h_y(x,y)\,y_u(t,u,v),
\frac{\partial h}{\partial v}=h_x(x,y)\,x_v(t,u,v) + h_y(x,y)\,y_v(t,u,v).
Agora substituo os valores que calculei nos passos anteriores: h_x(0,1)=1, h_y(0,1)=0, e os valores de x_t,x_u,x_v,y_t,y_u,y_v em (2,1,0) do Passo 7.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial h}{\partial t}(2,1,0)=0
\displaystyle \frac{\partial h}{\partial u}(2,1,0)=0
\displaystyle \frac{\partial h}{\partial v}(2,1,0)=4

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