Determine a derivada direcional da função f no ponto P na direção do vetor v :
f(x, y, z)=z^3-x^2 y, P=(1,6,2), v=(3,4,12)

Passo 1

A questão pede a derivada direcional de f em P na direção de v; isso envolve o gradiente de f e o vetor unitário na direção de v.

Passo 2

O gradiente de f é o vetor das derivadas parciais. Por teoria, a derivada direcional de f ao longo de um vetor unitário u é dado por
Duf(P)=nabla f(P)cdot u
Calculamos primeiro
nabla f(x,y,z)=l(partial fpartial x,partial fpartial y,partial fpartial zr) =l(-2xy,,-x^2,,3z^2r)

Passo 3

Agora avaliamos o gradiente no ponto P=(1,6,2):
nabla f(1,6,2)=l(-2cdot1cdot6,,-1^2,,3cdot2^2r)=(-12,-1,12)

Passo 4

Precisamos do vetor unitário na direção de v=(3,4,12). Primeiro o módulo:
|v|=raiz3^2+4^2+12^2=raiz9+16+144=13
Então
u=113(3,4,12)

Passo 5

Finalmente, a derivada direcional é o produto escalar:
Duf(P)=(-12,-1,12)cdotl(313,413,1213r) =-36-4+14413=10413=8

Resposta

8

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