Encontre a equação do plano tangente à superfície no ponto especificado:
.
Passo 1
A gente tem a superfície definida por z=cos(x²−y²) e quer o plano tangente em (x₀,y₀)=(1,−1). O conteúdo é derivadas parciais e a fórmula do plano tangente: z−z₀ = fₓ(x₀,y₀)(x−x₀) + fᵧ(x₀,y₀)(y−y₀).
Passo 2
Primeiro, calculo a cota z₀ substituindo (1,−1) em z=cos(x²−y²): z₀ = cos(1² − (−1)²) = cos(1−1) = cos(0) = 1.
Passo 3
Agora, computo as derivadas parciais de f(x,y)=cos(x²−y²). Derivando em relação a x: fₓ(x,y) = −sin(x²−y²)·2x = −2x·sin(x²−y²).
Derivando em relação a y: fᵧ(x,y) = −sin(x²−y²)·(−2y) = 2y·sin(x²−y²).
Derivando em relação a y: fᵧ(x,y) = −sin(x²−y²)·(−2y) = 2y·sin(x²−y²).
Passo 4
Avalio essas derivadas no ponto (1,−1): sin(1²−(−1)²)=sin(0)=0, Logo fₓ(1,−1)=−2·1·0=0 e fᵧ(1,−1)=2·(−1)·0=0.
Passo 5
Substituindo tudo na fórmula do plano tangente: z−z₀ = 0·(x−1) + 0·(y+1), fica z−1=0, ou seja z=1.
Resposta
z = 1