Seja F(x, y)=-y i-x jx^2+y^2.
Mostre que partial Ppartial y=partial Qpartial x.

Passo 1

O enunciado pede para verificar que as derivadas cruzadas de um campo vetorial ‘’.são iguais: temos F(x,y)=P(x,y),i+Q(x,y),j com P(x,y)=-yx^2+y^2 e Q(x,y)=xx^2+y^2.

Passo 2

Aplicando a regra do quociente para derivar P(x,y)=-yx^2+y^2 em relação a y, temos:
partial Ppartial y = (-1)(x^2+y^2) - (-y)(2y)(x^2+y^2)^2 = -x^2 - y^2 + 2y^2(x^2+y^2)^2 = -x^2 + y^2(x^2+y^2)^2

Passo 3

Aplicando a mesma ideia para derivar Q(x,y)=xx^2+y^2 em relação a x, obtemos:
partial Qpartial x = (1)(x^2+y^2) - x(2x)(x^2+y^2)^2 = x^2 + y^2 - 2x^2(x^2+y^2)^2 = -x^2 + y^2(x^2+y^2)^2

Passo 4

Como ambas derivadas resultam em -x^2+y^2(x^2+y^2)^2, concluímos que são iguais.

Resposta

partial Ppartial y=partial Qpartial x=-x^2+y^2(x^2+y^2)^2

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