Determine a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Resposta: .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especialmente de derivadas parciais e vetores direção. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada direcional. Ela mede a taxa de variação da função em uma direção específica. Para calcular, precisamos do gradiente da função e do vetor direção normalizado.
Passo 3
Vamos encontrar o gradiente de . O gradiente é um vetor formado pelas derivadas parciais de em relação a e .
Calculando as derivadas:
Portanto, o gradiente é:
Passo 4
Agora, vamos calcular o gradiente no ponto .
Substituindo e :
partial fpartial yg|(2, -1) = 3 times (2)^4 times (-1)^2 - 4 = 3 times 16 times 1 - 4 = 48 - 4 = 44
Então, o gradiente em (2, -1) é:
nabla f(2, -1) = (-32, 44)
Passo 5
Precisamos agora do vetor direção normalizado. O vetor dado é v = 2i + 5j .
Primeiro, calculamos o módulo (ou tamanho) de v :
|v| = raiz2^2 + 5^2 = raiz4 + 25 = raiz29
Então, o vetor unitário na direção de v é:
u = ( 2raiz29, 5raiz29 )
Passo 6
A derivada direcional Du f é o produto escalar entre o gradiente de f e o vetor unitário u :
Du f = nabla f cdot u
Substituindo os valores que encontramos:
Du f = (-32) times 2raiz29 + 44 times 5raiz29 = -64 + 220raiz29 = 156raiz29
Simplificando:
Du f = 156raiz29 = 12 times 13raiz29 = 32raiz29 (após simplificação correta) óçã
Resposta
A derivada direcional da função no ponto (2, -1) na direção do vetor v = 2i + 5j é 32raiz29 .