Calcule os limites:
(w) lim x 0^+(cossec(x))^sen(x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto0^+(cosec x)^sin x
O conteúdo aqui é limite de uma expressão da forma “infinito elevado a zero”, que é uma indeterminação do tipo infty^0. Para resolver, vamos usar a transformação exponencial: escrever a expressão como e^ln(cdot).

Passo 2

Definimos
y = (cosec x)^sin x
e estudamos o limite de ln y. Se limxto0^+ln y = L existir e for finito, então
limxto0^+y = e^L

Passo 3

Calculamos
ln y = sin x ,lnl(cosec xr)
Como cosec x = 1/sin x, temos

Passo 4

lnl(cosec xr)=ln!l(1/sin xr)=-ln(sin x),
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ln y = -sin x;ln(sin x)
Fazendo u=sin x, nota-se que uto0^+ quando xto0^+. E é conhecido que
limuto0^+ l(-uln ur)=0
Portanto limxto0^+ln y = 0.

Passo 5

Como ln yto0, conclui-se que
limxto0^+y = e^0 = 1

Resposta

1

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