Calcule os limites:
(u) lim x 1^+ x^x sen(x^2-x)ln (x^2-x+1)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite de uma função quando x se aproxima de 1 pela direita. A função envolvida é:
limx 1^+ x^x cdot sin(x^2-x)ln (x^2-x+1)
Vamos utilizar conhecimentos de Cálculo de Limites, especialmente sobre limites envolvendo funções exponenciais, trigonométricas e logarítmicas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com cada parte da função quando x se aproxima de 1 pela direita.
  • x^x : Quando x aproxima de 1, x^x se aproxima de 1^1 = 1 .
  • sin(x^2 - x) : Vamos ver o que acontece com o argumento do seno:
x^2 - x = x(x - 1)
Quando x se aproxima de 1, x - 1 se aproxima de 0. Portanto, x^2 - x também se aproxima de 0.
  • ln(x^2 - x + 1) : Analogamente, x^2 - x + 1 se aproxima de 1 , então ln(1) = 0 .
Então, temos uma forma do tipo 00 , que é indeterminada. Isso nos indica que precisamos aplicar alguma técnica para resolver, como a regra de L’Hôpital ou uma aproximação das funções envolvidas.

Passo 3

Vamos simplificar as expressões usando aproximações para valores próximos de 0.
  • Para sin(y) quando y é pequeno, podemos usar a aproximação:
sin(y) approx y
Então,
sin(x^2 - x) approx x^2 - x
  • Para ln(1 + y) quando y é pequeno, temos:
ln(1 + y) approx y
Nesse caso,
ln(x^2 - x + 1) = ln(1 + (x^2 - x)) approx x^2 - x

Passo 4

Substituindo essas aproximações na expressão original:
x^x cdot sin(x^2-x)ln(x^2-x+1) approx x^x cdot (x^2 - x)x^2 - x
Aqui, o x^2 - x no numerador e denominador se cancelam:
x^x cdot (x^2 - x)x^2 - x = x^x

Passo 5

Agora, basta avaliar o limite de x^x quando x se aproxima de 1:
limx 1^+ x^x = 1^1 = 1

Resposta

O limite é igual a 1.

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