Calcule os limites:
(u)
(u)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite de uma função quando
se aproxima de 1 pela direita. A função envolvida é:
Vamos utilizar conhecimentos de Cálculo de Limites, especialmente sobre limites envolvendo funções exponenciais, trigonométricas e logarítmicas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece com cada parte da função quando
se aproxima de 1 pela direita.
-
: Quando aproxima de 1, se aproxima de . -
: Vamos ver o que acontece com o argumento do seno:
Quando
se aproxima de 1,
se aproxima de 0. Portanto,
também se aproxima de 0.
-
: Analogamente, se aproxima de , então .
Então, temos uma forma do tipo
, que é indeterminada. Isso nos indica que precisamos aplicar alguma técnica para resolver, como a regra de L’Hôpital ou uma aproximação das funções envolvidas.
Passo 3
Vamos simplificar as expressões usando aproximações para valores próximos de 0.
- Para
quando é pequeno, podemos usar a aproximação:
Então,
- Para
quando é pequeno, temos:
Nesse caso,
Passo 4
Substituindo essas aproximações na expressão original:
Aqui, o
no numerador e denominador se cancelam:
Passo 5
Agora, basta avaliar o limite de
quando
se aproxima de 1:
Resposta
O limite é igual a 1.