Determine:
- domínio de
e as interseções com os eixos coordenados, caso existam.
- as assíntotas horizontais e verticais, caso existam.
- os intervalos onde
é crescente, os intervalos onde
é decrescente e os máximos e mínimos locais de
.
- os intervalos onde o gráfico de
é côncavo para baixo, os intervalos onde o gráfico de
é côncavo para cima e os pontos de inflexão, caso existam.
- esboce o gráfico de
e dê sua imagem
-
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função
. O objetivo é analisar essa função em vários aspectos:
- Determinar o domínio e onde ela cruza os eixos coordenados.
- Encontrar as assíntotas horizontais e verticais.
- Verificar onde a função está crescendo ou decrescendo e identificar possíveis máximos e mínimos locais.
- Analisar a concavidade do gráfico e encontrar pontos de inflexão.
- Esboçar o gráfico da função.
Para resolver isso, vamos precisar de conceitos de cálculo, como derivadas para estudar crescimento, concavidade e assíntotas, além de álgebra para encontrar o domínio e as interseções com os eixos.
Passo 2
Domínio da função: O domínio de uma função racional como
são todos os valores de
onde o denominador não é zero, pois divisão por zero não é permitida.
Então, precisamos resolver
:
Portanto, o domínio de
é todos os reais menos
e
:
Passo 3
Interseções com os eixos coordenados:
- Interseção com o eixo
: Para encontrar onde a função cruza o eixo , calculamos :
Então, a função cruza o eixo
no ponto
.
- Interseções com o eixo
: Para encontrar onde a função cruza o eixo , resolvemos :
No entanto,
nunca é zero para números reais, pois
é sempre não negativo. Portanto, não há interseção com o eixo
.
Passo 4
Assíntotas verticais: As assíntotas verticais ocorrem onde o denominador da função se aproxima de zero, mas o numerador não.
Já identificamos que
e
fazem o denominador zero. Vamos verificar o comportamento próximo a esses pontos:
Para
se aproximando de 1:
Similarmente, para
se aproximando de -1:
Portanto, há assíntotas verticais em
e
.
Assíntotas horizontais: As assíntotas horizontais são determinadas pelo limite da função quando
tende a
ou
.
Calculando o limite:
Então, há uma assíntota horizontal em
.
Passo 5
Crescimento e decrescimento da função: Para determinar onde
está crescendo ou decrescendo, precisamos calcular a primeira derivada de
e analisar seu sinal.
Primeiro, vamos derivar
usando a regra do quociente:
Agora, analisamos o sinal de
:
- O numerador
é positivo quando e negativo quando . - O denominador
é sempre positivo, exceto nos pontos onde está indefinido.
Portanto:
-
quando : a função está crescendo. -
quando : a função está decrescendo.
Máximos e mínimos locais: Observando a derivada, não há pontos onde a derivada é zero, pois
implica
, mas em
, a derivada é zero. Vamos verificar esse ponto:
Calculando
, e observando que para
, a função está decrescendo, e para
, está crescendo. Portanto,
é um ponto de mínimo local com valor
.
Passo 6
Concavidade e pontos de inflexão: Para analisar a concavidade, precisamos calcular a segunda derivada de
.
Primeira derivada:
Derivando novamente:
Agora, analisamos o sinal de
:
- O numerador
é sempre positivo, pois . - O denominador
muda de sinal dependendo de : - Para
, : : concavidade para cima. - Para
, : : concavidade para baixo.
- Para
Pontos de inflexão: São os pontos onde a concavidade muda, ou seja, onde a segunda derivada muda de sinal. Aqui, a concavidade muda em
e
. No entanto, nesses pontos a função tem assíntotas verticais, então tecnicamente não há pontos de inflexão no domínio da função.
Passo 7
Esboço do gráfico:
- Domínio:
. - Interseção com o eixo
: . - Assíntotas verticais:
e . - Assíntota horizontal:
. - Crescimento:
cresce para . - Decrescimento:
decresce para . - Mínimo local:
. - Concavidade:
- Concavo para cima:
. - Concavo para baixo:
.
- Concavo para cima:
Imagem da função: A imagem de
é todos os valores de
exceto onde
, já que a função se aproxima dessa linha horizontalmente, mas nunca a atinge.
Resposta
A função
tem domínio
, cruza o eixo
no ponto
e não possui interseção com o eixo
. Possui assíntotas verticais em
e
, e uma assíntota horizontal em
. A função está decrescendo para
e crescendo para
, com um mínimo local em
. O gráfico é côncavo para cima entre
e côncavo para baixo fora desse intervalo. A imagem da função é
.