Determine:
  • domínio de f e as interseções com os eixos coordenados, caso existam.
  • as assíntotas horizontais e verticais, caso existam.
  • os intervalos onde f é crescente, os intervalos onde f é decrescente e os máximos e mínimos locais de f.
  • os intervalos onde o gráfico de f é côncavo para baixo, os intervalos onde o gráfico de f é côncavo para cima e os pontos de inflexão, caso existam.
  • esboce o gráfico de f e dê sua imagem
  1. f(x)=1+x^21-x^2

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função f(x) = 1 + x^21 - x^2 . O objetivo é analisar essa função em vários aspectos:
  • Determinar o domínio e onde ela cruza os eixos coordenados.
  • Encontrar as assíntotas horizontais e verticais.
  • Verificar onde a função está crescendo ou decrescendo e identificar possíveis máximos e mínimos locais.
  • Analisar a concavidade do gráfico e encontrar pontos de inflexão.
  • Esboçar o gráfico da função.
Para resolver isso, vamos precisar de conceitos de cálculo, como derivadas para estudar crescimento, concavidade e assíntotas, além de álgebra para encontrar o domínio e as interseções com os eixos.

Passo 2

Domínio da função: O domínio de uma função racional como f(x) = 1 + x^21 - x^2 são todos os valores de x onde o denominador não é zero, pois divisão por zero não é permitida.
Então, precisamos resolver 1 - x^2 neq 0 :
1 - x^2 neq 0 Rightarrow x^2 neq 1 Rightarrow x neq pm 1
Portanto, o domínio de f é todos os reais menos x = 1 e x = -1 :
Df = R setminus -1, 1

Passo 3

Interseções com os eixos coordenados:
  • Interseção com o eixo y : Para encontrar onde a função cruza o eixo y , calculamos f(0) :
f(0) = 1 + 0^21 - 0^2 = 11 = 1
Então, a função cruza o eixo y no ponto (0, 1) .
  • Interseções com o eixo x : Para encontrar onde a função cruza o eixo x , resolvemos f(x) = 0 :
1 + x^21 - x^2 = 0 Rightarrow 1 + x^2 = 0
No entanto, 1 + x^2 nunca é zero para números reais, pois x^2 é sempre não negativo. Portanto, não há interseção com o eixo x .

Passo 4

Assíntotas verticais: As assíntotas verticais ocorrem onde o denominador da função se aproxima de zero, mas o numerador não.
Já identificamos que x = 1 e x = -1 fazem o denominador zero. Vamos verificar o comportamento próximo a esses pontos:
Para x se aproximando de 1:
limx to 1^- f(x) = limx to 1^- 1 + x^21 - x^2 = -infty
limx to 1^+ f(x) = limx to 1^+ 1 + x^21 - x^2 = +infty
Similarmente, para x se aproximando de -1:
limx to -1^- f(x) = limx to -1^- 1 + x^21 - x^2 = +infty
limx to -1^+ f(x) = limx to -1^+ 1 + x^21 - x^2 = -infty
Portanto, há assíntotas verticais em x = 1 e x = -1 .
Assíntotas horizontais: As assíntotas horizontais são determinadas pelo limite da função quando x tende a infty ou -infty .
Calculando o limite:
limx to pminfty 1 + x^21 - x^2 = limx to pminfty x^2(1 + 1x^2)x^2( 1x^2 -1 ) = limx to pminfty 1 + 1x^21x^2 -1 = 1-1 = -1
Então, há uma assíntota horizontal em y = -1 .

Passo 5

Crescimento e decrescimento da função: Para determinar onde f(x) está crescendo ou decrescendo, precisamos calcular a primeira derivada de f e analisar seu sinal.
Primeiro, vamos derivar f(x) = 1 + x^21 - x^2 usando a regra do quociente:
f'(x) = (2x)(1 - x^2) - (1 + x^2)(-2x)(1 - x^2)^2 = 2x(1 - x^2) + 2x(1 + x^2)(1 - x^2)^2 = 2x - 2x^3 + 2x + 2x^3(1 - x^2)^2 = 4x(1 - x^2)^2
Agora, analisamos o sinal de f'(x) :
  • O numerador 4x é positivo quando x > 0 e negativo quando x < 0 .
  • O denominador (1 - x^2)^2 é sempre positivo, exceto nos pontos onde está indefinido.
Portanto:
  • f'(x) > 0 quando x > 0 : a função está crescendo.
  • f'(x) < 0 quando x < 0 : a função está decrescendo.
Máximos e mínimos locais: Observando a derivada, não há pontos onde a derivada é zero, pois 4x = 0 implica x = 0 , mas em x = 0 , a derivada é zero. Vamos verificar esse ponto:
Calculando f(0) = 1 , e observando que para x < 0 , a função está decrescendo, e para x > 0 , está crescendo. Portanto, x = 0 é um ponto de mínimo local com valor f(0) = 1 .

Passo 6

Concavidade e pontos de inflexão: Para analisar a concavidade, precisamos calcular a segunda derivada de f(x) .
Primeira derivada:
f'(x) = 4x(1 - x^2)^2
Derivando novamente:
f''(x) = 4(1 - x^2)^2 - 4x cdot 2(1 - x^2)(-2x)(1 - x^2)^4 = 4(1 - x^2)^2 + 16x^2(1 - x^2)(1 - x^2)^4 = 4(1 - x^2) + 16x^2(1 - x^2)^3 = 4 + 12x^2(1 - x^2)^3
Agora, analisamos o sinal de f''(x) :
  • O numerador 4 + 12x^2 é sempre positivo, pois x^2 >= 0 .
  • O denominador (1 - x^2)^3 muda de sinal dependendo de x :
    • Para |x| < 1 , 1 - x^2 > 0 : f''(x) > 0 : concavidade para cima.
    • Para |x| > 1 , 1 - x^2 < 0 : f''(x) < 0 : concavidade para baixo.
Pontos de inflexão: São os pontos onde a concavidade muda, ou seja, onde a segunda derivada muda de sinal. Aqui, a concavidade muda em x = 1 e x = -1 . No entanto, nesses pontos a função tem assíntotas verticais, então tecnicamente não há pontos de inflexão no domínio da função.

Passo 7

Esboço do gráfico:
  • Domínio: x in R setminus -1, 1 .
  • Interseção com o eixo y : (0, 1) .
  • Assíntotas verticais: x = 1 e x = -1 .
  • Assíntota horizontal: y = -1 .
  • Crescimento: f cresce para x > 0 .
  • Decrescimento: f decresce para x < 0 .
  • Mínimo local: (0, 1) .
  • Concavidade:
    • Concavo para cima: |x| < 1 .
    • Concavo para baixo: |x| > 1 .
Imagem da função: A imagem de f é todos os valores de y exceto onde y = -1 , já que a função se aproxima dessa linha horizontalmente, mas nunca a atinge.

Resposta

A função f(x) = 1 + x^21 - x^2 tem domínio R setminus -1, 1 , cruza o eixo y no ponto (0, 1) e não possui interseção com o eixo x . Possui assíntotas verticais em x = 1 e x = -1 , e uma assíntota horizontal em y = -1 . A função está decrescendo para x < 0 e crescendo para x > 0 , com um mínimo local em (0, 1) . O gráfico é côncavo para cima entre -1 < x < 1 e côncavo para baixo fora desse intervalo. A imagem da função é R setminus -1 .

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