(2.0) A função f(t, mu)=t^2+(-t-mu)^2+(1-mu)^2 representa o quadrado da distância entre um ponto genérico da reta (t,-t, 1): t in R e um ponto genérico da reta (0, mu,-mu): mu in R.
(a) Encontre os possíveis valores de t^* e mu^* que minimizam f.
(b) Verifique se os pontos encontrados no itema anterior são mínimos locais, de fato, utilizando o critério baseado nas derivadas parciais de segunda ordem.

Passo 1

O enunciado pede para minimizar a função de duas variáveis
f(t,mu)=t^2+(-t-mu)^2+(1-mu)^2,
que corresponde ao quadrado da distância entre um ponto da reta (t,-t,1) e um ponto da reta (0,mu,-mu).
Conteúdo: cálculo de derivadas parciais (gradiente) para achar o ponto crítico e critério das derivadas parciais de segunda ordem (Hessiana) para classificar o ponto como mínimo local.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero.
partial fpartial t =2t+2(-t-mu)cdot(-1) =2t+2(t+mu) =4t+2mu Longrightarrow 4t+2mu=0;;(1)
partial fpartial mu =2(-t-mu)cdot(-1)+2(1-mu)cdot(-1) =2t+2mu-2+2mu =2t+4mu-2 Longrightarrow 2t+4mu-2=0;;(2)
Da equação ( 1) vem 2t+mu=0, ou seja mu=-2t. Substituindo em ( 2):
2t+4(-2t)-2=0 Longrightarrow 2t-8t-2=0 Longrightarrow -6t=2 Longrightarrow t=-tfrac13,
logo mu=-2(-tfrac13)=tfrac23.

Passo 3

Formamos a Hessiana de f:
H= partial^2fpartial t^2 & partial^2fpartial tpartial mu partial^2fpartial mupartial t & partial^2fpartial mu^2 = 4 & 2 2 & 4

Passo 4

Verificamos os menores principais de H:
De<a1=4>0, De<a2=det(H)=4cdot4-2cdot2=16-4=12>0
Como todos os menores principais são positivos, H é definida positiva. Portanto o ponto crítico (t^*,mu^*) é um mínimo local estrito (e, por convexidade global da quadrática, também global).

Resposta

(a) t^*=-tfrac13, mu^*=tfrac23.
(b) A Hessiana é definida positiva ( De<a1=4>0, De<a2=12>0), logo (t^*,mu^*) é de fato um mínimo local.

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