(2.0) A função representa o quadrado da distância entre um ponto genérico da reta e um ponto genérico da reta .
(a) Encontre os possíveis valores de e que minimizam .
(b) Verifique se os pontos encontrados no itema anterior são mínimos locais, de fato, utilizando o critério baseado nas derivadas parciais de segunda ordem.
Passo 1
O enunciado pede para minimizar a função de duas variáveis
que corresponde ao quadrado da distância entre um ponto da reta e um ponto da reta .
Conteúdo: cálculo de derivadas parciais (gradiente) para achar o ponto crítico e critério das derivadas parciais de segunda ordem (Hessiana) para classificar o ponto como mínimo local.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais e igualamos a zero.
Da equação () vem , ou seja . Substituindo em ():
logo .
Passo 3
Formamos a Hessiana de :
Passo 4
Verificamos os menores principais de H:
De<a1=4>0, De<a2=det(H)=4cdot4-2cdot2=16-4=12>0
Como todos os menores principais são positivos, H é definida positiva. Portanto o ponto crítico (t^*,mu^*) é um mínimo local estrito (e, por convexidade global da quadrática, também global).
Resposta
(a) t^*=-tfrac13, mu^*=tfrac23.
(b) A Hessiana é definida positiva (De<a1=4>0, De<a2=12>0), logo (t^*,mu^*) é de fato um mínimo local.