Determine a derivada direcional máxima de f em P e a direção em que isto ocorre:
f(x, y)=x e^-y+3 y, P=(1,0)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada direcional máxima de
f(x,y)=x e^-y+3y no ponto P=(1,0). O conteúdo principal é o gradiente e a fórmula da derivada direcional máxima, que diz que ela ocorre na direção do gradiente e vale o módulo do gradiente.

Passo 2

Precisamos calcular as derivadas parciais de f:
partial fpartial x=e^-y, partial fpartial y=-x e^-y+3
Em seguida, avaliamos em P=(1,0):
partial fpartial x(1,0)=e^0=1, partial fpartial y(1,0)=-1cdot e^0+3=2
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nabla f(1,0)=(1,2)

Passo 3

A derivada direcional de f em P na direção unitária u é
Duf(P)=nabla f(P)cdotu
Para maximizar esse produto escalar com u unitário, escolhemos u paralelo a nabla f(P).

Passo 4

O valor máximo da derivada direcional é o módulo de nabla f(1,0)=(1,2):
$$|\nabla f(1,0)|=\sqrt{12+22}=\sqrt{5}.
|nabla f(1,0)|=raiz1^2+2^2=raiz5 çãáé\mathbf{u}=\frac{1}{\sqrt{5}}(1,2).$$

Resposta

Derivada direcional máxima: raiz5. Direção em que ocorre: (1/raiz5,2/raiz5).

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