Resolva os problemas de valor inicial

Passo 1

A gente tem uma EDO de primeira ordem linear com condição inicial. O enunciado diz: “
(x+1)dydx+y=ln x
com y(1)=10. O conteúdo aqui é EDO linear de primeira ordem e vamos usar fator integrante para resolver.

Passo 2

Primeiro passo de verdade: colocar na forma padrão dydx+P(x)y=Q(x). Dividindo tudo por x+1 (que é diferente de zero perto de x=1), fica:
dydx+1x+1y=ln xx+1
Então identificamos P(x)=tfrac1x+1 e Q(x)=tfracln xx+1, e precisamos do fator integrante mu(x)=e^integral P(x)dx.

Passo 3

Calcular o fator integrante:
mu(x)=expl(integral1x+1dxr)=expl(ln(x+1)r)=x+1
Agora multiplicamos a equação padrão por mu(x); o lado esquerdo vira a derivada de (x+1)y. Ou seja:
ddxl((x+1)yr)=ln x
Integrando ambos os lados:
(x+1)y=integralln x,dx = xln x - x + C

Passo 4

Para achar a constante C, usamos a condição inicial y(1)=10. Substituindo x=1 e y=10 em
(1+1)cdot 10 = 1cdotln1 - 1 + C
Temos 20 = 0 -1 + C, logo C=21.

Passo 5

Por fim, isolamos y:
y=xln x - x + 21x+1
E essa é a solução geral que satisfaz y(1)=10.

Resposta

y=\frac{x\ln x - x +21}{x+1}

Exercícios relacionados