Determine a derivada de f, utilizando a “regra da cadeia”, se:
f(x)=log cos (x-1x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=lncos!l(x-1xr)
usando a regra da cadeia. Para isso, vamos identificar as funções compostas: a função exterior é ln(u), depois temos u=cos(v) e, por fim, v=(x-1)/x.

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia na primeira composição ln(u), obtemos
f'(x) =1cos!l(x-1xr);ddx!l[cos!l(tfracx-1xr)r]

Passo 3

Agora derivamos cos(v) em relação a v e multiplicamos pela derivada de v:
ddx!l[cos(v)r] =-sin(v);dvdx, v=x-1x

Passo 4

Calculamos dvdx para v=(x-1)/x. Podemos reescrever
v = 1 - 1x Longrightarrow dvdx = 0 -l(-1x^2r)=1x^2
Substituindo em f'(x) e simplificando sin/cos=tan, temos
f'(x) =-sin!l(x-1xr)cos!l(x-1xr) cdot1x^2 =-1x^2,tan!l(x-1xr)

Resposta

f'(x)=-1x^2,tan!l(x-1xr)

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