Determine a derivada de f, utilizando a “regra da cadeia”, se:
f(x)=2^arccos (xx-1)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=2^arccos!l(tfracxx-1r),
ou seja, temos uma exponencial de base 2 com expoente u(x)=arccosl(x/(x-1)r).
Para resolver vamos usar:
– A regra da cadeia para a^u(x):
ddxa^u(x) = a^u(x)ln(a),cdot u'(x)
– A derivada de arccos(v):
ddxarccos(v)= -v'raiz1-v^2
– A regra do quociente para v(x)=x/(x-1).

Passo 2

Calcular v(x)=dfracxx-1 e sua derivada por quociente:
v'(x)=(1)(x-1)-xcdot1(x-1)^2 =x-1 - x(x-1)^2 =-1(x-1)^2

Passo 3

Agora u(x)=arccosl(v(x)r). Aplicando a derivada de arccos:
u'(x) =-v'(x)raiz1-l(v(x)r)^2 =--tfrac1(x-1)^2raiz1-l(tfracxx-1r)^2 =1(x-1)^2,raiz1-l(tfracxx-1r)^2

Passo 4

Finalmente, aplicamos a regra da cadeia em
f(x)=2^u(x):
f'(x) =2^u(x)ln(2),cdot u'(x) =2^arccos!l(tfracxx-1r)ln(2), 1(x-1)^2raiz1-l(tfracxx-1r)^2

Resposta

boxed f'(x) =2^arccos!l(tfracxx-1r);ln(2) (x-1)^2,raiz1-l(tfracxx-1r)^2

Exercícios relacionados