(2,0 pontos) Dados f(x)=cos 2 x e a=pi, encontre a série de Taylor de f centrada em a. Determine o raio de convergência. Use a série para estimar uma aproximação para cos 184^circ.

Passo 1

O enunciado pede pra achar a série de Taylor de f(x)=cos

Passo 2

Como a função cos]

Passo 3

Sabendo a série de Maclaurin de cos
basta substituir u=2(x−π). Assim obtemos a série de Taylor de f em torno de π:
]

Passo 4

Como coseno é inteiro, o raio de convergência dessa série é infinito.

Passo 5

Para estimar cos
E como f(π+h)=cos[2(π+h)]=cos(2π+2h)=cos]

Passo 6

Truncando em n=2 para dar uma boa aproximação:
cos4^circapprox1-(2h)^22!+(2h)^44!
Calculando h=π/90≈0,0349, temos (2h)^2≈0,0195 e (2h)^4≈0,00038, então
cos4^circapprox1-0,01952+0,0003824approx0,99756
Portanto
cos184^circ=-cos4^circapprox-0,99756

Resposta

Série de Taylor: cos2x=sumn=0^infty(-1)^n[2(x-pi)]^2n(2n)!, raio de convergência infinito, e cos184^circapprox-0,99756.

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