(2,0 pontos) Dados
e
, encontre a série de Taylor de
centrada em
. Determine o raio de convergência. Use a série para estimar uma aproximação para cos
.
Passo 1
O enunciado pede pra achar a série de Taylor de f(x)=cos
Passo 2
Como a função cos]
Passo 3
Sabendo a série de Maclaurin de cos
basta substituir u=2(x−π). Assim obtemos a série de Taylor de f em torno de π:
Passo 4
Como coseno é inteiro, o raio de convergência dessa série é infinito.
Passo 5
Para estimar cos
E como f(π+h)=cos[2(π+h)]=cos(2π+2h)=cos]
Passo 6
Truncando em n=2 para dar uma boa aproximação:
Calculando h=π/90≈0,0349, temos (2h)^2≈0,0195 e (2h)^4≈0,00038, então
Portanto
Resposta
Série de Taylor:
raio de convergência infinito, e
.