Determine a derivada de f, utilizando a “regra da cadeia”, se:
f(t)=t e^2 t

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(t)=t e^{2t} usando as regras de derivação (produto e cadeia). Vamos precisar da regra do produto e da regra da cadeia para exponenciais.

Passo 2

Identificamos u(t)=t e v(t)=e^{2t}. Pela regra do produto temos: f’(t)=u’(t)·v(t)+u(t)·v’(t).

Passo 3

Derivando cada parte: u’(t)=1; para v(t)=e^{2t} usamos a regra da cadeia (derivada de e^{g(t)} é e^{g(t)}·g’(t)), logo v’(t)=e{2t}·2=2e{2t}.

Passo 4

Substituindo em f’(t): f’(t)=1·e{2t}+t·(2e{2t})=e^{2t}+2t e^{2t}. Fatorando e^{2t} fica e^{2t}(2t+1).

Resposta

f'(t)=e^2t(2t+1)

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