Determine a derivada de f, utilizando a “regra da cadeia”, se:
f(x)=raizln (x+1)+ln raizx+1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
f(x)=√(ln(x+1)) + ln√(x+1)
usando a regra da cadeia. Vamos usar as derivadas de funções compostas, a derivada de ln(u)=u’/u e a derivada de u{1/2}=(1/2)u{-1/2}·u’.

Passo 2

Primeiro note que podemos simplificar o segundo termo:
lnraizx+1=lnl((x+1)^1/2r)=tfrac12ln(x+1)
Assim
f(x)=raizln(x+1)+tfrac12ln(x+1)

Passo 3

Agora derivamos o primeiro termo usando a regra da cadeia. Seja u(x)=ln(x+1), então √u=u^{1/2} e
ddxl(u(x)^1/2r)=tfrac12u(x)^-1/2cdot u'(x)
Como u’(x)=1/(x+1), temos
ddxraizln(x+1)=12l(ln(x+1)r)^-1/2cdot1x+1= 12(x+1)raizln(x+1)

Passo 4

Agora derivamos o segundo termo (que virou (1/2)ln(x+1)). Usamos d(ln(x+1))/dx=1/(x+1), logo
ddxl(tfrac12ln(x+1)r)=tfrac12cdot1x+1=12(x+1)

Passo 5

Somando ambas as derivadas, obtemos
f'(x)=12(x+1)raizln(x+1)+12(x+1)
Podemos ainda fatorar 1/[2(x+1)]:
f'(x)=12(x+1)l(1raizln(x+1)+1r)

Resposta

f'(x)=12(x+1)l(1raizln(x+1)+1r).

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