Determine a derivada de
, utilizando a “regra da cadeia”, se:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada de
f(x)=√(ln(x+1)) + ln√(x+1)
usando a regra da cadeia. Vamos usar as derivadas de funções compostas, a derivada de ln(u)=u’/u e a derivada de u{1/2}=(1/2)u{-1/2}·u’.
Passo 2
Primeiro note que podemos simplificar o segundo termo:
Assim
Passo 3
Agora derivamos o primeiro termo usando a regra da cadeia. Seja u(x)=ln(x+1), então √u=u^{1/2} e
Como u’(x)=1/(x+1), temos
Passo 4
Agora derivamos o segundo termo (que virou (1/2)ln(x+1)). Usamos d(ln(x+1))/dx=1/(x+1), logo
Passo 5
Somando ambas as derivadas, obtemos
Podemos ainda fatorar 1/[2(x+1)]: