Determine o rotacional eo divergente do campo vetorial:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar o rotacional e o divergente de um campo vetorial específico: . Para resolver essa questão, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente as operações de rotacional (também conhecido como “curl”) e divergente de um campo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são rotacional e divergente.
Rotacional (Curl): Mede a tendência de um campo vetorial girar em torno de um ponto. É calculado usando a seguinte fórmula:
Divergente (Div): Mede a taxa de expansão ou contração de um campo vetorial a partir de um ponto. É calculado usando:
Nosso campo vetorial é . Note que o componente é zero.
Passo 3
Vamos identificar os componentes do nosso campo vetorial:
Passo 4
Agora, vamos calcular o rotacional usando a fórmula mencionada:
nabla times f = ( partial fzpartial y - partial fypartial z ) imath + ( partial fxpartial z - partial fzpartial x ) jmath + ( partial fypartial x - partial fxpartial y ) k
Vamos calcular cada termo:
Componente imath:
partial fzpartial y - partial fypartial z = partial (-x^2 y)partial y - partial 0partial z = -x^2 - 0 = -x^2
Componente jmath:
partial fxpartial z - partial fzpartial x = partial (x y z)partial z - partial (-x^2 y)partial x = x y - (-2x y) = x y + 2x y = 3x y
Componente k:
partial fypartial x - partial fxpartial y = partial 0partial x - partial (x y z)partial y = 0 - x z = -x z
Então, o rotacional é:
nabla times f = -x^2 imath + 3x y jmath - x z k
Passo 5
Agora, vamos calcular o divergente usando a fórmula:
nabla cdot f = partial fxpartial x + partial fypartial y + partial fzpartial z
Calculando cada derivada:
partial fxpartial x = partial (x y z)partial x = y z
partial fypartial y = partial 0partial y = 0
partial fzpartial z = partial (-x^2 y)partial z = 0
Então, o divergente é:
nabla cdot f = y z + 0 + 0 = y z
Resposta
Portanto, o rotacional do campo vetorial é -x^2 imath + 3x y jmath - x z k e o divergente é y z. A resposta correta é a primeira opção: