Questão 02

Determine o rotacional eo divergente do campo vetorial: f(x, y, z)=x y z imath-x^2 y k
mid-x^2 imath+3 x y jmath-x z k ; y z
mid x y imath-x z jmath+x y k ; y z
-x y imath-x z jmath+x y k ; x z
-x^2 imath-x y jmath+x z k ; 2 x y
-x^2 imath+x z k ; 2 x y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar o rotacional e o divergente de um campo vetorial específico: f(x, y, z) = x y z imath - x^2 y k. Para resolver essa questão, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente as operações de rotacional (também conhecido como “curl”) e divergente de um campo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são rotacional e divergente.
  • Rotacional (Curl): Mede a tendência de um campo vetorial girar em torno de um ponto. É calculado usando a seguinte fórmula:
    nabla times f = ( partial fzpartial y - partial fypartial z ) imath + ( partial fxpartial z - partial fzpartial x ) jmath + ( partial fypartial x - partial fxpartial y ) k
  • Divergente (Div): Mede a taxa de expansão ou contração de um campo vetorial a partir de um ponto. É calculado usando:
    nabla cdot f = partial fxpartial x + partial fypartial y + partial fzpartial z
Nosso campo vetorial é f(x, y, z) = x y z imath - x^2 y k. Note que o componente jmath é zero.

Passo 3

Vamos identificar os componentes do nosso campo vetorial:
fx = x y z fy = 0 fz = -x^2 y

Passo 4

Agora, vamos calcular o rotacional usando a fórmula mencionada:
nabla times f = ( partial fzpartial y - partial fypartial z ) imath + ( partial fxpartial z - partial fzpartial x ) jmath + ( partial fypartial x - partial fxpartial y ) k
Vamos calcular cada termo:
  1. Componente imath:
    partial fzpartial y - partial fypartial z = partial (-x^2 y)partial y - partial 0partial z = -x^2 - 0 = -x^2
  2. Componente jmath:
    partial fxpartial z - partial fzpartial x = partial (x y z)partial z - partial (-x^2 y)partial x = x y - (-2x y) = x y + 2x y = 3x y
  3. Componente k:
    partial fypartial x - partial fxpartial y = partial 0partial x - partial (x y z)partial y = 0 - x z = -x z
Então, o rotacional é:
nabla times f = -x^2 imath + 3x y jmath - x z k

Passo 5

Agora, vamos calcular o divergente usando a fórmula:
nabla cdot f = partial fxpartial x + partial fypartial y + partial fzpartial z
Calculando cada derivada:
  1. partial fxpartial x = partial (x y z)partial x = y z
  2. partial fypartial y = partial 0partial y = 0
  3. partial fzpartial z = partial (-x^2 y)partial z = 0
Então, o divergente é:
nabla cdot f = y z + 0 + 0 = y z

Resposta

Portanto, o rotacional do campo vetorial é -x^2 imath + 3x y jmath - x z k e o divergente é y z. A resposta correta é a primeira opção:
mid -x^2 imath+3 x y jmath-x z k ; y z

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