1. mu(x, y)=y e^x
  2. (x+2) sen y d x+x cos y d y=0, mu(x, y)=x e^2

Passo 1

O enunciado traz quatro EDOs na forma diferencial M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0 e já informa um fator integrante mu(x,y) para cada uma. O conteúdo é resolução de EDO exatas usando fator integrante, e vamos precisar: (a) multiplicar por mu, (b) verificar exatidão, © encontrar a função potencial Psi(x,y) tal que Psix = mu M e Psiy = mu N, e (d) escrever Psi(x,y) = C.

Passo 2

Item 19: temos M = x^2y^3, N = x(1+y^2) e mu = 1/(xy^3). Multiplicando,
M^* = x, N^* = 1+y^2y^3

Passo 3

Integramos M^* em x:
Psi(x,y) = integral x,dx + h(y) = tfrac12x^2 + h(y)

Passo 4

Derivando em y e igualando a N^*:
Psiy = h'(y) = 1+y^2y^3 = y^-3 + y^-1

Passo 5

Integrando em y:
h(y) = -tfrac12y^-2 + ln y

Passo 6

Logo a solução implícita é
tfrac12x^2 - tfrac12y^2 + ln y = C

Passo 7

Item 20: temos
M = sin yy - 2e^-xsin x, N = cos y + 2e^-xcos xy, mu = ye^x

Passo 8

Multiplicando,
M^* = e^xsin y - 2ysin x, N^* = e^xcos y + 2cos x

Passo 9

Integramos M^* em x:
Psi(x,y) = integral(e^xsin y - 2ysin x)dx + h(y) = e^xsin y + 2ycos x + h(y)

Passo 10

Derivando em y e igualando a N^* h'(y)=0. Assim
Psi(x,y) = e^xsin y + 2ycos x = C

Passo 11

Item 21: temos M = y, N = 2x - ye^y, mu = y. Multiplicando,
M^* = y^2, N^* = 2xy - y^2e^y

Passo 12

Integramos M^* em x:
Psi(x,y) = integral y^2dx + h(y) = xy^2 + h(y)

Passo 13

Derivando em y e igualando a N^*
2xy + h'(y) = 2xy - y^2e^y implies h'(y) = -y^2e^y

Passo 14

Integrando por partes em y:
h(y) = -y^2e^y + 2ye^y - 2e^y

Passo 15

Logo
Psi(x,y) = xy^2 + e^y(-y^2 + 2y - 2) = C

Passo 16

Item 22: temos M = (x+2)sin y, N = xcos y, mu = xe^2 (constante vezes x). Multiplicando por mu não torna a equação exata, logo o fator integrante fornecido não produz exatidão e não é possível seguir resolvendo com esse mu.

Resposta

  1. tfrac12x^2 - tfrac12y^2 + ln y = C 20) e^xsin y + 2ycos x = C 21) xy^2 + e^y(-y^2 + 2y - 2) = C 22) não se obtém exatidão com o fator integrante dado.

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