Determine a derivada de f, utilizando a regra da cadeia: f(x)=e^x^2+sen x.

Passo 1

Neste exercício, vamos derivar a função composta f(x)=e^x^2+sin x. O conteúdo principal é a regra da cadeia, e vamos precisar das derivadas de e^u, de x^2 e de sin x.

Passo 2

Para aplicar a regra da cadeia, identificamos a função externa como E(u)=e^u e a interna como u(x)=x^2+sin x. A regra da cadeia diz que
f'(x)=E'(u(x))cdot u'(x)

Passo 3

Agora calculamos a derivada de u(x)=x^2+sin x. Usando derivadas básicas, temos
u'(x)=2x+cos x

Passo 4

Finalmente, substituímos u(x) e u'(x) na fórmula da regra da cadeia:
f'(x)=e^u(x)cdot u'(x), com u(x)=x^2+sin x e u'(x)=2x+cos x.

Resposta

f'(x)=e^x^2+sin x,(2x+cos x)

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